Номер 12.2, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.2. На рисунке 40 изображен треугольник $ABC$, $AM = NC$, $\angle BMC = \angle BNA$. Докажите, что:

а) $\angle BAC = \angle BCA$;

б) $\angle ABM = \angle CBN$.

Рис. 40

a) Докажите, что ∠BAC = ∠BCA

Для доказательства воспользуемся методом вспомогательного построения. Построим на плоскости треугольник $\triangle PNA$, равный треугольнику $\triangle BMC$. Расположим его так, чтобы сторона $NA$ совпала с отрезком $AN$ на исходном чертеже (это возможно, так как $AN = AM + MN = NC + MN = CM$), а вершина $P$ находилась в той же полуплоскости относительно прямой $AC$, что и вершина $B$.

Из равенства треугольников $\triangle PNA \cong \triangle BMC$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:
1) $PA = BC$
2) $PN = BM$
3) $\angle PAN = \angle BCM$
4) $\angle PNA = \angle BMC$

Рассмотрим равенство углов (4): $\angle PNA = \angle BMC$. По условию задачи нам дано, что $\angle BNA = \angle BMC$. Отсюда следует, что $\angle PNA = \angle BNA$.

Так как точки $P$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $AC$, равенство углов $\angle PNA = \angle BNA$ означает, что луч $NP$ совпадает с лучом $NB$. Таким образом, точка $P$ лежит на луче $NB$.

Теперь обратимся к равенству углов (3): $\angle PAN = \angle BCM$. Угол $\angle PAN$ является тем же углом, что и $\angle BAC$, а угол $\angle BCM$ — тем же углом, что и $\angle BCA$. Следовательно, из этого равенства вытекает, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажите, что ∠ABM = ∠CBN

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$. Сумма углов в каждом из них равна $180^\circ$.
Из $\triangle ABM$ получаем: $\angle ABM = 180^\circ - \angle BAC - \angle BMA$.
Из $\triangle CBN$ получаем: $\angle CBN = 180^\circ - \angle BCA - \angle BNC$.

В пункте (а) мы уже доказали, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Теперь необходимо доказать, что $\angle BMA = \angle BNC$.
Углы $\angle BMA$ и $\angle BMC$ являются смежными, поэтому $\angle BMA = 180^\circ - \angle BMC$.
Аналогично, углы $\angle BNC$ и $\angle BNA$ являются смежными, поэтому $\angle BNC = 180^\circ - \angle BNA$.
Из условия задачи известно, что $\angle BMC = \angle BNA$. Отсюда следует, что и их смежные углы равны: $\angle BMA = \angle BNC$.

Подставим доказанные равенства ($\angle BAC = \angle BCA$ и $\angle BMA = \angle BNC$) в формулы для $\angle ABM$ и $\angle CBN$:
$\angle ABM = 180^\circ - \angle BAC - \angle BMA$
$\angle CBN = 180^\circ - \angle BCA - \angle BNC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BMA$
Из этого следует, что $\angle ABM = \angle CBN$.

Ответ: Утверждение доказано.