Номер 15.10, страница 34 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.10. На рисунке 61 $AB = BC$, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle DCE = \frac{1}{5}\angle BCE$.

Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 61

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи дано, что $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BCA = \angle BAC$. Поскольку по условию $\angle BAC = 30^\circ$, то и $\angle BCA = 30^\circ$.

Точки A, C, E лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle BCA$ и $\angle BCE$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Отсюда мы можем найти величину угла $\angle BCE$: $\angle BCE = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Далее, по условию задачи, $\angle DCE = \frac{1}{5}\angle BCE$. Подставим найденное значение угла $\angle BCE$ в это выражение: $\angle DCE = \frac{1}{5} \cdot 150^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AE$. Угол $\angle BAC$ и угол $\angle DCE$ являются соответственными углами при этих прямых и секущей.

Мы выяснили, что $\angle BAC = 30^\circ$ и $\angle DCE = 30^\circ$. Так как $\angle BAC = \angle DCE$, а это соответственные углы, то по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку соответственные углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ равны $30^\circ$, прямые $AB$ и $CD$ параллельны.