Номер 15.11, страница 34 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.11*. Каково взаимное расположение двух прямых, если они имеют:

а) по крайней мере, одну общую точку;

б) не более одной общей точки?

а) по крайней мере, одну общую точку;

Условие «по крайней мере, одну общую точку» означает, что количество общих точек $n$ между двумя прямыми удовлетворяет неравенству $n \ge 1$. Это приводит к двум возможным сценариям взаимного расположения прямых.

Вариант 1: Прямые имеют ровно одну общую точку ($n=1$). Такие прямые по определению называются пересекающимися.

Вариант 2: Прямые имеют более одной общей точки ($n > 1$). Согласно одной из основных аксиом геометрии, через любые две различные точки можно провести только одну прямую. Это означает, что если две прямые имеют хотя бы две общие точки, они должны полностью совпадать. В этом случае у них бесконечное множество общих точек, и такие прямые называются совпадающими.

Таким образом, если две прямые имеют по крайней мере одну общую точку, они могут быть либо пересекающимися, либо совпадающими.

Ответ: прямые пересекаются или совпадают.

б) не более одной общей точки?

Условие «не более одной общей точки» означает, что количество общих точек $n$ между двумя прямыми удовлетворяет неравенству $n \le 1$. Это также приводит к нескольким возможным сценариям.

Вариант 1: Прямые имеют ровно одну общую точку ($n=1$). В этом случае прямые являются пересекающимися.

Вариант 2: Прямые не имеют общих точек ($n=0$). Взаимное расположение таких прямых зависит от того, лежат ли они в одной плоскости. Если прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, они называются параллельными. Если же прямые не лежат в одной плоскости (что возможно только в пространстве), то они также не имеют общих точек и называются скрещивающимися.

Следовательно, объединяя все возможные случаи, если две прямые имеют не более одной общей точки, они могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

Ответ: прямые пересекаются, или параллельны, или скрещиваются.