Номер 23.5, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.5. Отрезки $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $O$, расположенной на середине отрезка $AB$. Отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны $AB$ (рис. 101). Докажите, что $\angle ADO = \angle BCO$.

Для доказательства равенства углов $\angle ADO$ и $\angle BCO$ рассмотрим треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$.

Проанализируем треугольники на основе данных из условия задачи:

1. По условию, точка $O$ — середина отрезка $AB$. Это означает, что отрезки $AO$ и $OB$ равны: $AO = OB$.
2. По условию, отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны отрезку $AB$. Следовательно, углы $\angle OAD$ и $\angle OBC$ являются прямыми, то есть $\angle OAD = \angle OBC = 90^\circ$.
3. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AB$ и $DC$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$.

Таким образом, мы имеем два треугольника, $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$, у которых сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AO$, $\angle OAD$, $\angle AOD$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($BO$, $\angle OBC$, $\angle BOC$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольник $\triangle ADO$ равен треугольнику $\triangle BCO$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Угол $\angle ADO$ в $\triangle ADO$ соответствует углу $\angle BCO$ в $\triangle BCO$. Значит, $\angle ADO = \angle BCO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), так как $AO=BO$ (по условию), $\angle OAD = \angle OBC = 90^\circ$ (по условию) и $\angle AOD = \angle BOC$ (как вертикальные углы). Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов: $\angle ADO = \angle BCO$.