Номер 23.8, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.8. Можно ли утверждать, что прямоугольные треугольники ABC ($ \angle B = 90^\circ $) и DEF ($ \angle E = 90^\circ $) равны, если:

а) $ AC = DF $, $ \angle C = \angle D $;

б) $ AB = EF $, $ \angle A = \angle F $;

в) $ AB = EF $, $ \angle A = \angle D $?

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle B = 90^\circ$ и $\triangle DEF$ с прямым углом $\angle E = 90^\circ$. В $\triangle ABC$ катеты – это $AB$ и $BC$, а гипотенуза – $AC$. В $\triangle DEF$ катеты – это $DE$ и $EF$, а гипотенуза – $DF$.

а) $AC = DF, \angle C = \angle D$

По условию нам дано равенство гипотенуз ($AC=DF$) и равенство острого угла одного треугольника острому углу другого треугольника ($\angle C = \angle D$).
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle B = 90^\circ$, то $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle C$.
Для $\triangle DEF$ имеем: $\angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ$. Так как $\angle E = 90^\circ$, то $\angle F = 180^\circ - 90^\circ - \angle D = 90^\circ - \angle D$.
Поскольку по условию $\angle C = \angle D$, мы можем заключить, что и другие острые углы этих треугольников равны: $\angle A = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle D = \angle F$.
Теперь мы можем сравнить $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$. У них равны:

• гипотенуза $AC$ и гипотенуза $DF$ ($AC=DF$ по условию);
• прилежащий к ней острый угол $\angle A$ и прилежащий к ней острый угол $\angle F$ ($\angle A = \angle F$, как мы доказали).

Таким образом, треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Также можно применить общий признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (ASA), если рассмотреть сторону AC и углы A и C и сторону DF и углы F и D (так как $\angle C = \angle D$ и $\angle A = \angle F$).
Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle FDE$.
Ответ: Да, можно утверждать, что треугольники равны.

б) $AB = EF, \angle A = \angle F$

По условию нам дано равенство катетов ($AB=EF$) и равенство острых углов ($\angle A = \angle F$).
В $\triangle ABC$ катет $AB$ прилежит к острому углу $\angle A$.
В $\triangle DEF$ катет $EF$ прилежит к острому углу $\angle F$.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $FED$. У них:

• $\angle A = \angle F$ (по условию);
• $AB = FE$ (по условию);
• $\angle B = \angle E = 90^\circ$ (по условию).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle FED$).
Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, ASA). Также это соответствует признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.
Ответ: Да, можно утверждать, что треугольники равны.

в) $AB = EF, \angle A = \angle D$

По условию нам дано равенство катетов ($AB=EF$) и равенство острых углов ($\angle A = \angle D$).
В $\triangle ABC$ угол $\angle A$ является прилежащим к катету $AB$.
В $\triangle DEF$ угол $\angle D$ является противолежащим катету $EF$.
Поскольку расположение равных углов относительно равных катетов различно, стандартные признаки равенства напрямую не применяются. Проверим, всегда ли такие треугольники будут равны, рассмотрев контрпример.
Пусть $AB = EF = 4$ и $\angle A = \angle D = 30^\circ$.
В $\triangle ABC$:

• $\angle B = 90^\circ$, $AB = 4$, $\angle A = 30^\circ$.
• Найдем второй катет $BC$: $BC = AB \cdot \tan(\angle A) = 4 \cdot \tan(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

В $\triangle DEF$:

• $\angle E = 90^\circ$, $EF = 4$, $\angle D = 30^\circ$.
• Найдем второй катет $DE$: $\tan(\angle D) = \frac{EF}{DE}$, откуда $DE = \frac{EF}{\tan(\angle D)} = \frac{4}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.

Условия $AB = EF$ и $\angle A = \angle D$ выполнены. Однако, катеты $BC$ и $DE$ не равны: $\frac{4\sqrt{3}}{3} \neq 4\sqrt{3}$. Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ не равны.
Поскольку мы нашли случай, когда условия выполняются, а треугольники не равны, утверждать их равенство в общем случае нельзя.
Ответ: Нет, нельзя утверждать, что треугольники равны.