Номер 23.7, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.7. На рисунке 102 изображены два равных прямоугольных треугольника ABC ($AC > BC$) и MNK ($MK > KN$). Найдите величину угла BAC, если $\angle MNK = 35^\circ$.

Рис. 102

По условию задачи даны два равных прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle MNK $. Из равенства треугольников ($ \triangle ABC = \triangle MNK $) следует, что их соответствующие стороны и углы равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MNK $. В нем известен прямой угол $ \angle K = 90^\circ $ и острый угол $ \angle MNK = 35^\circ $. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $ 90^\circ $, поэтому мы можем найти второй острый угол $ \angle NMK $:
$ \angle NMK = 90^\circ - \angle MNK = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ $.

Чтобы найти величину искомого угла $ \angle BAC $, необходимо правильно сопоставить элементы равных треугольников. Для этого используем данные в условии неравенства для длин катетов:
1. В $ \triangle ABC $ дано, что $ AC > BC $. Следовательно, $ AC $ — это больший катет, а $ BC $ — меньший.
2. В $ \triangle MNK $ дано, что $ MK > KN $. Следовательно, $ MK $ — это больший катет, а $ KN $ — меньший.

Поскольку треугольники равны, то большие катеты равны между собой, и меньшие катеты также равны между собой. Таким образом, устанавливаем соответствие сторон: $ AC = MK $ и $ BC = KN $.

В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Угол $ \angle BAC $, который нам нужно найти, лежит в $ \triangle ABC $ напротив меньшего катета $ BC $. Следовательно, он равен углу в $ \triangle MNK $, который лежит напротив соответствующего ему меньшего катета $ KN $. Угол, лежащий напротив катета $ KN $, — это $ \angle NMK $.

Таким образом, мы получаем равенство углов: $ \angle BAC = \angle NMK $.

Так как мы уже вычислили, что $ \angle NMK = 55^\circ $, то искомый угол $ \angle BAC $ также равен $ 55^\circ $.

Ответ: $55^\circ$