Номер 5.7, страница 15 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.7. Может ли луч $OM$ быть биссектрисой угла $AOB$, равного $90^\circ$, если:

а) $∠MOB = 30^\circ$;

б) $∠AOM = 45^\circ$?

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. В нашем случае дан угол $ \angle AOB $, равный $ 90^\circ $. Если луч $OM$ является его биссектрисой, то он должен делить угол $AOB$ на два равных угла: $ \angle AOM $ и $ \angle MOB $.

Таким образом, для того чтобы луч $OM$ был биссектрисой, должно выполняться условие:

$ \angle AOM = \angle MOB = \frac{\angle AOB}{2} $

Подставим значение $ \angle AOB = 90^\circ $:

$ \angle AOM = \angle MOB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

Теперь проверим, выполняются ли эти условия для каждого из подпунктов.

а) По условию дано, что $ \angle MOB = 30^\circ $.

Мы установили, что если бы $OM$ был биссектрисой, то угол $ \angle MOB $ должен был бы равняться $ 45^\circ $. Поскольку $ 30^\circ \neq 45^\circ $, то луч $OM$ не является биссектрисой угла $AOB$.

Ответ: нет.

б) По условию дано, что $ \angle AOM = 45^\circ $.

Это значение совпадает с тем, которое мы рассчитали для угла, образованного биссектрисой ($ 45^\circ $). Чтобы полностью убедиться, что $OM$ является биссектрисой, нужно проверить, равен ли второй угол, $ \angle MOB $, также $ 45^\circ $. Предполагая, что луч $OM$ находится внутри угла $AOB$, мы можем найти $ \angle MOB $:

$ \angle MOB = \angle AOB - \angle AOM = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Поскольку $ \angle AOM = 45^\circ $ и $ \angle MOB = 45^\circ $, то $ \angle AOM = \angle MOB $. Это означает, что луч $OM$ делит угол $AOB$ на два равных угла и, следовательно, является его биссектрисой.

Ответ: да.