Номер 20.4, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.4. a) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Сторона $AB$ равна 8 см, соответствующая ей сторона $A_1B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ равна 24 см. Найдите периметр треугольника $A_1B_1C_1$, если периметр треугольника $ABC$ равен 17 см.

б) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Сторона $AB$ равна 7 см, соответствующая ей сторона $A_1B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ равна 21 см. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $A_1B_1C_1$ равен 54 см.

а)

По условию задачи, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны. Основное свойство подобных треугольников заключается в том, что отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия $k$ показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше соответственных сторон другого. Найдем его, используя данные нам стороны $AB$ и $A_1B_1$:

$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{24 \text{ см}}{8 \text{ см}} = 3$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$\frac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}} = k$

Зная периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC} = 17$ см) и коэффициент подобия ($k=3$), мы можем найти периметр треугольника $A_1B_1C_1$:

$P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC} \cdot k = 17 \cdot 3 = 51 \text{ см}$

Ответ: 51 см.

б)

В данной задаче треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ также подобны. Мы снова будем использовать свойство, что отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Найдем коэффициент подобия $k$, разделив длину стороны $A_1B_1$ на длину соответственной ей стороны $AB$:

$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{21 \text{ см}}{7 \text{ см}} = 3$

Соотношение периметров выражается формулой:

$\frac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}} = k$

На этот раз нам известен периметр большего треугольника $A_1B_1C_1$ ($P_{A_1B_1C_1} = 54$ см). Чтобы найти периметр меньшего треугольника $ABC$, выразим его из формулы:

$P_{ABC} = \frac{P_{A_1B_1C_1}}{k} = \frac{54}{3} = 18 \text{ см}$

Ответ: 18 см.