Номер 21.4, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.4. a) В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ разделена тремя точками на равные отрезки, через эти точки проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри треугольника, если $BC = 24 \text{ см}$.

б) В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ разделена тремя точками на равные отрезки, через эти точки проведены прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри треугольника, если $AC = 18 \text{ см}$.

а)

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ разделена тремя точками $D_1$, $D_2$ и $D_3$ на четыре равных отрезка. Будем считать, что точки расположены в порядке от $A$ к $B$, то есть $A, D_1, D_2, D_3, B$. Таким образом, $AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3B = \frac{1}{4}AB$. Соответственно, длины отрезков от вершины $A$ до этих точек составляют: $AD_1 = \frac{1}{4}AB$, $AD_2 = \frac{2}{4}AB = \frac{1}{2}AB$ и $AD_3 = \frac{3}{4}AB$.

Через точки $D_1, D_2, D_3$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Пусть эти прямые пересекают сторону $AC$ в точках $E_1, E_2, E_3$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $D_1E_1, D_2E_2$ и $D_3E_3$.

Для нахождения длин этих отрезков воспользуемся свойством подобных треугольников.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle AD_1E_1$. Так как $D_1E_1 \parallel BC$, то $\triangle AD_1E_1$ подобен $\triangle ABC$ (по двум углам: угол $A$ — общий, $\angle AD_1E_1 = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $D_1E_1, BC$ и секущей $AB$). Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон: $k_1 = \frac{AD_1}{AB} = \frac{\frac{1}{4}AB}{AB} = \frac{1}{4}.$ Следовательно, отношение длины искомого отрезка и стороны $BC$ также равно коэффициенту подобия: $\frac{D_1E_1}{BC} = \frac{1}{4} \implies D_1E_1 = \frac{1}{4} BC = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ см.

2. Аналогично, треугольник $\triangle AD_2E_2$ подобен $\triangle ABC$. Коэффициент подобия в этом случае: $k_2 = \frac{AD_2}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}.$ Тогда длина отрезка $D_2E_2$ равна: $\frac{D_2E_2}{BC} = \frac{1}{2} \implies D_2E_2 = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

3. Треугольник $\triangle AD_3E_3$ также подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом подобия: $k_3 = \frac{AD_3}{AB} = \frac{\frac{3}{4}AB}{AB} = \frac{3}{4}.$ Тогда длина отрезка $D_3E_3$ равна: $\frac{D_3E_3}{BC} = \frac{3}{4} \implies D_3E_3 = \frac{3}{4} BC = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18$ см.

Ответ: длины отрезков равны 6 см, 12 см и 18 см.

б)

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ разделена тремя точками $P_1$, $P_2$ и $P_3$ на четыре равных отрезка. Будем считать, что точки расположены в порядке от $B$ к $C$, то есть $B, P_1, P_2, P_3, C$. Таким образом, $BP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3C = \frac{1}{4}BC$. Длины отрезков от вершины $B$ до этих точек составляют: $BP_1 = \frac{1}{4}BC$, $BP_2 = \frac{2}{4}BC = \frac{1}{2}BC$ и $BP_3 = \frac{3}{4}BC$.

Через точки $P_1, P_2, P_3$ проведены прямые, параллельные стороне $AC$. Пусть эти прямые пересекают сторону $AB$ в точках $Q_1, Q_2, Q_3$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $Q_1P_1, Q_2P_2$ и $Q_3P_3$.

Задача решается аналогично пункту а) с помощью подобных треугольников. В данном случае будем рассматривать треугольники с общей вершиной $B$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle BQ_1P_1$. Так как $Q_1P_1 \parallel AC$, то $\triangle BQ_1P_1$ подобен $\triangle BAC$ (угол $B$ — общий, $\angle BP_1Q_1 = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $Q_1P_1, AC$ и секущей $BC$). Коэффициент подобия равен: $k_1 = \frac{BP_1}{BC} = \frac{\frac{1}{4}BC}{BC} = \frac{1}{4}.$ Следовательно, отношение искомого отрезка к стороне $AC$ равно: $\frac{Q_1P_1}{AC} = \frac{1}{4} \implies Q_1P_1 = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4} \cdot 18 = 4,5$ см.

2. Аналогично, треугольник $\triangle BQ_2P_2$ подобен $\triangle BAC$. Коэффициент подобия в этом случае: $k_2 = \frac{BP_2}{BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{BC} = \frac{1}{2}.$ Тогда длина отрезка $Q_2P_2$ равна: $\frac{Q_2P_2}{AC} = \frac{1}{2} \implies Q_2P_2 = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

3. Треугольник $\triangle BQ_3P_3$ также подобен $\triangle BAC$ с коэффициентом подобия: $k_3 = \frac{BP_3}{BC} = \frac{\frac{3}{4}BC}{BC} = \frac{3}{4}.$ Тогда длина отрезка $Q_3P_3$ равна: $\frac{Q_3P_3}{AC} = \frac{3}{4} \implies Q_3P_3 = \frac{3}{4} \cdot 18 = \frac{54}{4} = 13,5$ см.

Ответ: длины отрезков равны 4,5 см, 9 см и 13,5 см.