Номер 8.5, страница 143 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.5. a) Вокруг прямоугольного треугольника описана окружность радиусом $5\sqrt{5}$. Найдите меньший катет треугольника, зная, что один из катетов в два раза ближе к центру окружности, чем другой.

б) Наибольшая средняя линия прямоугольного треугольника равна $3\sqrt{10}$. Вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, причем центр окружности в три раза ближе к одному из катетов, чем к другому. Найдите больший катет треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности находится на середине его гипотенузы. Радиус $R$ такой окружности равен половине гипотенузы: $R = c/2$.

По условию, радиус окружности $R = 5\sqrt{5}$. Найдем длину гипотенузы:

$c = 2R = 2 \cdot 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$.

Согласно теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим значение $c$:

$a^2 + b^2 = (10\sqrt{5})^2 = 100 \cdot 5 = 500$.

Для определения расстояния от центра окружности до катетов удобно расположить треугольник в системе координат. Пусть вершина с прямым углом находится в начале координат $(0,0)$, а катеты лежат на осях. Тогда вершины треугольника будут иметь координаты $(0,0)$, $(a,0)$ и $(0,b)$. Центр описанной окружности $O$ — середина гипотенузы — будет иметь координаты $(a/2, b/2)$.

Расстояние от центра $O(a/2, b/2)$ до катета, лежащего на оси $x$ (длиной $a$), равно ординате центра, то есть $b/2$.

Расстояние от центра $O(a/2, b/2)$ до катета, лежащего на оси $y$ (длиной $b$), равно абсциссе центра, то есть $a/2$.

По условию, один из катетов в два раза ближе к центру окружности, чем другой. Это означает, что расстояние до одного катета в два раза меньше, чем до другого. Пусть расстояние до катета $b$ в два раза больше, чем до катета $a$:

$a/2 = 2 \cdot (b/2)$, что равносильно $a = 2b$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 500 \\ a = 2b \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(2b)^2 + b^2 = 500$

$4b^2 + b^2 = 500$

$5b^2 = 500$

$b^2 = 100 \implies b = 10$ (так как длина катета — положительная величина).

Тогда второй катет $a = 2b = 2 \cdot 10 = 20$.

Катеты треугольника равны 10 и 20. Требуется найти меньший катет.

Ответ: 10

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. У любого треугольника есть три средние линии. Длина каждой средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом, длины средних линий нашего треугольника равны $a/2$, $b/2$ и $c/2$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной ($c > a$ и $c > b$). Следовательно, наибольшая средняя линия — та, что параллельна гипотенузе, и ее длина равна $c/2$.

По условию, наибольшая средняя линия равна $3\sqrt{10}$.

$c/2 = 3\sqrt{10} \implies c = 6\sqrt{10}$.

По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$a^2 + b^2 = (6\sqrt{10})^2 = 36 \cdot 10 = 360$.

Центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Как было показано в пункте а), расстояния от центра окружности до катетов $a$ и $b$ равны соответственно $b/2$ и $a/2$.

По условию, центр окружности в три раза ближе к одному из катетов, чем к другому. Это означает, что одно расстояние в три раза меньше другого. Допустим, расстояние до катета $a$ в три раза меньше расстояния до катета $b$:

$b/2 = 3 \cdot (a/2)$, что равносильно $b=3a$. Или наоборот, $a/2 = 3 \cdot (b/2)$, что равносильно $a=3b$. В любом случае один катет в 3 раза длиннее другого. Пусть $a = 3b$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 360 \\ a = 3b \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(3b)^2 + b^2 = 360$

$9b^2 + b^2 = 360$

$10b^2 = 360$

$b^2 = 36 \implies b = 6$.

Тогда второй катет $a = 3b = 3 \cdot 6 = 18$.

Катеты треугольника равны 6 и 18. Требуется найти больший катет.

Ответ: 18