Номер 8.7, страница 143 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.7. a) $ABCD$ — прямоугольник со сторонами 12 м и 16 м. Точки $O$ и $P$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $ABC$ и $ADC$ соответственно. Найдите длину отрезка $OP$.

б) Диагональ прямоугольника $ABCD$ равна 34 м, а разность сторон прямоугольника — 14 м. Найдите расстояние между центрами вписанных в треугольники $ABC$ и $ADC$ окружностей.

a)

Пусть $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 16$ м и $BC = 12$ м. Диагональ $AC$ делит прямоугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $B$ и $\triangle ADC$ с прямым углом при вершине $D$. Точки $O$ и $P$ являются центрами окружностей, вписанных в эти треугольники.

1. Найдем длину диагонали $AC$, которая является общей гипотенузой для обоих треугольников. Применяя теорему Пифагора для $\triangle ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ м.

2. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$, находится по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Для $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ катеты равны 12 м и 16 м, а гипотенуза — 20 м. Следовательно, радиусы вписанных окружностей равны:

$r_O = r_P = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ м.

3. Прямоугольник $ABCD$ симметричен относительно своего центра (точки пересечения диагоналей). Обозначим эту точку как $M$. Точка $M$ является серединой диагонали $AC$. Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ симметричны относительно точки $M$, их центры вписанных окружностей (инцентры) $O$ и $P$ также будут симметричны относительно $M$. Это означает, что $M$ — середина отрезка $OP$, и, следовательно, длина $OP$ равна удвоенной длине отрезка $PM$.

4. Для нахождения координат введем систему координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $D(0, 0)$. Тогда вершины будут иметь координаты: $A(0, 12)$ и $C(16, 0)$.

Для прямоугольного треугольника $\triangle ADC$, катеты которого лежат на осях координат, координаты его инцентра $P$ равны $(r, r)$. Таким образом, точка $P$ имеет координаты $(4, 4)$.

Центр прямоугольника $M$ является серединой гипотенузы $AC$. Его координаты:

$M = (\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}) = (\frac{0+16}{2}, \frac{12+0}{2}) = (8, 6)$.

5. Найдем расстояние $PM$ по формуле расстояния между двумя точками:

$PM = \sqrt{(x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2} = \sqrt{(8-4)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ м.

6. Искомая длина отрезка $OP$ равна:

$OP = 2 \cdot PM = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ м.

Ответ: $4\sqrt{5}$ м.

б)

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $a$ и $b$, а диагональ $d = 34$ м. По условию, разность сторон $a - b = 14$ м.

1. Найдем длины сторон прямоугольника. Стороны и диагональ связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 14 \\ a^2 + b^2 = 34^2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a = b + 14$ и подставим во второе:

$(b+14)^2 + b^2 = 1156$

$b^2 + 28b + 196 + b^2 = 1156$

$2b^2 + 28b - 960 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$b^2 + 14b - 480 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 14^2 - 4(1)(-480) = 196 + 1920 = 2116 = 46^2$.

$b = \frac{-14 \pm 46}{2}$. Так как длина стороны должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:

$b = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16$ м.

Тогда вторая сторона $a = b + 14 = 16 + 14 = 30$ м.

2. Итак, стороны прямоугольника равны 16 м и 30 м. Задача аналогична пункту а). Диагональ $AC$ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ с катетами 16 м, 30 м и гипотенузой 34 м. Найдем радиус вписанных в них окружностей:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{16 + 30 - 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$ м.

3. Используем метод координат, как и в пункте а). Пусть $D(0, 0)$, $A(0, 16)$, $C(30, 0)$.

Координаты инцентра $P$ треугольника $\triangle ADC$ равны $(r, r)$, то есть $P(6, 6)$.

Координаты центра прямоугольника $M$ (середины $AC$):

$M = (\frac{0+30}{2}, \frac{16+0}{2}) = (15, 8)$.

4. Найдем расстояние $PM$:

$PM = \sqrt{(15 - 6)^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$ м.

5. Расстояние между центрами $O$ и $P$ равно удвоенному расстоянию $PM$:

$OP = 2 \cdot PM = 2\sqrt{85}$ м.

Ответ: $2\sqrt{85}$ м.