Номер 8.8, страница 143 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.8. Используя данные рисунка 228, найдите площадь треугольника ABC.

Рис. 228

Для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся формулой площади для прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его катетов. В нашем случае это катеты $AC$ и $BC$.

Из рисунка видно, что треугольник ABC является прямоугольным, так как угол C — прямой. В треугольник вписана окружность.

1. Найдем радиус вписанной окружности.
На рисунке показано, что расстояние от центра окружности до стороны BC равно 1. Это расстояние и есть радиус вписанной окружности. Таким образом, радиус $r = 1$.

2. Воспользуемся свойствами касательных к окружности.
Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами AC, BC и AB будут F, E и D соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, длины отрезков от вершины до точек касания равны:

• $AD = AF$
• $BD = BE$
• $CE = CF$

Рассмотрим четырехугольник CFOE (где O — центр вписанной окружности). Углы C, F и E — прямые (∠C по условию, ∠OFC и ∠OEC как углы между радиусом и касательной). Значит, CFOE — прямоугольник. Поскольку его смежные стороны $OF$ и $OE$ равны радиусу $r=1$, CFOE является квадратом. Следовательно, $CE = CF = r = 1$.

3. Выразим длины сторон треугольника.
Из данных на рисунке, длина отрезка касательной от вершины A до точки касания D на гипотенузе равна 10, то есть $AD = 10$. Тогда $AF = AD = 10$.

Обозначим длину отрезка $BD$ через $x$. Тогда $BE = BD = x$.

Теперь мы можем выразить длины катетов и гипотенузы:

• Катет $AC = AF + FC = 10 + 1 = 11$.
• Катет $BC = BE + EC = x + 1$.
• Гипотенуза $AB = AD + DB = 10 + x$.

4. Применим теорему Пифагора.
Для прямоугольного треугольника ABC справедлива теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Подставим выражения для сторон в уравнение:

$11^2 + (x + 1)^2 = (10 + x)^2$

$121 + (x^2 + 2x + 1) = 100 + 20x + x^2$

$122 + 2x + x^2 = 100 + 20x + x^2$

$122 + 2x = 100 + 20x$

$122 - 100 = 20x - 2x$

$22 = 18x$

$x = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}$

5. Найдем длины катетов.
Мы уже знаем, что $AC = 11$. Теперь найдем длину катета $BC$:

$BC = x + 1 = \frac{11}{9} + 1 = \frac{11}{9} + \frac{9}{9} = \frac{20}{9}$

6. Вычислим площадь треугольника.
Теперь, зная длины обоих катетов, мы можем вычислить площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot \frac{20}{9} = \frac{11 \cdot 20}{2 \cdot 9} = \frac{220}{18} = \frac{110}{9}$

Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $12\frac{2}{9}$.

Ответ: $S_{ABC} = \frac{110}{9}$.