Номер 66, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

66. Прямая $y = kx + b$ проходит через точки $T(-2; 7)$ и $K(3; 8)$. Запишите уравнение этой прямой.

Чтобы найти уравнение прямой вида $y = kx + b$, нам необходимо определить значения коэффициентов $k$ и $b$. Поскольку прямая проходит через точки T(-2; 7) и K(3; 8), координаты этих точек должны удовлетворять уравнению прямой.

Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, чтобы составить систему из двух линейных уравнений.

Для точки T(-2; 7):
$7 = k \cdot (-2) + b$
$7 = -2k + b$

Для точки K(3; 8):
$8 = k \cdot 3 + b$
$8 = 3k + b$

Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} -2k + b = 7 \\ 3k + b = 8 \end{cases} $$

Решим эту систему. Самый простой способ — вычесть первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $b$:
$(3k + b) - (-2k + b) = 8 - 7$
$3k + b + 2k - b = 1$
$5k = 1$
$k = \frac{1}{5}$

Теперь, зная значение $k$, найдем $b$, подставив $k = \frac{1}{5}$ в любое из уравнений. Например, во второе ($3k + b = 8$):
$3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right) + b = 8$
$\frac{3}{5} + b = 8$
$b = 8 - \frac{3}{5}$
$b = \frac{40}{5} - \frac{3}{5}$
$b = \frac{37}{5}$

Запишите уравнение этой прямой. Мы нашли коэффициенты: $k = \frac{1}{5}$ и $b = \frac{37}{5}$. Подставляем их в уравнение $y = kx + b$.
$y = \frac{1}{5}x + \frac{37}{5}$.
Для представления ответа в требуемом виде выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{37}{5}$: $37 \div 5 = 7$ (остаток 2), то есть $\frac{37}{5} = 7\frac{2}{5}$.
Ответ: $y = \frac{1}{5}x + \mathbf{7}\frac{2}{5}$