Номер 1.215, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.215. Найдите значение выражения $m^2 - 10m + 9$ при:

a) $m = \sqrt{3} + 1;$

б) $m = 5 - \sqrt{13};$

в) $m = 2\sqrt{5} + 9.$

Для удобства вычислений преобразуем исходное выражение $m^2 - 10m + 9$, выделив в нем полный квадрат. Это позволит упростить подстановку и расчет.

Формула полного квадрата: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $m^2 - 10m$ можно представить как $m^2 - 2 \cdot m \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $5^2=25$. Добавим и вычтем его:

$m^2 - 10m + 9 = (m^2 - 10m + 25) - 25 + 9 = (m-5)^2 - 16$

Теперь будем подставлять заданные значения $m$ в преобразованное выражение $(m-5)^2 - 16$.

а) При $m = \sqrt{3} + 1$:

Подставляем значение $m$ в выражение $(m-5)^2 - 16$:

$((\sqrt{3} + 1) - 5)^2 - 16 = (\sqrt{3} - 4)^2 - 16$

Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4 + 4^2 - 16 = 3 - 8\sqrt{3} + 16 - 16 = 3 - 8\sqrt{3}$

Ответ: $\textbf{3} - 8\sqrt{3}$

б) При $m = 5 - \sqrt{13}$:

Подставляем значение $m$ в выражение $(m-5)^2 - 16$:

$((5 - \sqrt{13}) - 5)^2 - 16 = (-\sqrt{13})^2 - 16$

Возводим в квадрат и вычисляем:

$13 - 16 = -3$

Ответ: $\textbf{-3}$

в) При $m = 2\sqrt{5} + 9$:

Подставляем значение $m$ в выражение $(m-5)^2 - 16$:

$((2\sqrt{5} + 9) - 5)^2 - 16 = (2\sqrt{5} + 4)^2 - 16$

Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4 + 4^2 - 16 = (4 \cdot 5) + 16\sqrt{5} + 16 - 16 = 20 + 16\sqrt{5}$

Ответ: $\textbf{20} + 16\sqrt{5}$