Номер 1.224, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.224. Сократите дробь:

a) $ \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2+\sqrt{3}} $;

б) $ \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{10-4\sqrt{6}} $;

в) $ \frac{9-6\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})^2} $;

г) $ \frac{8+3\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})^2} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2 + \sqrt{3}}$, выполним следующие действия:

1. Раскроем квадрат суммы в числителе, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

2. Подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

3. Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на общий для числителя и знаменателя множитель $(2 + \sqrt{3})$:

$\frac{2\cancel{(2 + \sqrt{3})}}{\cancel{2 + \sqrt{3}}} = 2$.

Ответ: а) 2

б) Чтобы сократить дробь $\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{10 - 4\sqrt{6}}$, выполним следующие действия:

1. Раскроем квадрат разности в числителе по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$.

2. Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{5 - 2\sqrt{6}}{10 - 4\sqrt{6}}$

3. В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$10 - 4\sqrt{6} = 2(5 - 2\sqrt{6})$.

4. Подставим преобразованный знаменатель в дробь и сократим на общий множитель $(5 - 2\sqrt{6})$:

$\frac{5 - 2\sqrt{6}}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{\cancel{5 - 2\sqrt{6}}}{2\cancel{(5 - 2\sqrt{6})}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: б) $\frac{1}{2}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{9 - 6\sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})^2}$, выполним следующие действия:

1. Раскроем квадрат разности в знаменателе по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.

2. Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{9 - 6\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$

3. В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$9 - 6\sqrt{2} = 3(3 - 2\sqrt{2})$.

4. Подставим преобразованный числитель в дробь и сократим на общий множитель $(3 - 2\sqrt{2})$:

$\frac{3(3 - 2\sqrt{2})}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3\cancel{(3 - 2\sqrt{2})}}{\cancel{3 - 2\sqrt{2}}} = 3$.

Ответ: в) 3

г) Чтобы сократить дробь $\frac{8 + 3\sqrt{7}}{(3 + \sqrt{7})^2}$, выполним следующие действия:

1. Раскроем квадрат суммы в знаменателе по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(3 + \sqrt{7})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 9 + 6\sqrt{7} + 7 = 16 + 6\sqrt{7}$.

2. Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{8 + 3\sqrt{7}}{16 + 6\sqrt{7}}$

3. В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$16 + 6\sqrt{7} = 2(8 + 3\sqrt{7})$.

4. Подставим преобразованный знаменатель в дробь и сократим на общий множитель $(8 + 3\sqrt{7})$:

$\frac{8 + 3\sqrt{7}}{2(8 + 3\sqrt{7})} = \frac{\cancel{8 + 3\sqrt{7}}}{2\cancel{(8 + 3\sqrt{7})}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: г) $\frac{1}{2}$