Номер 1.35, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.35. Пользуясь определением арифметического квадратного корня, выберите все верные равенства:

а) $\sqrt{25} = 5;$

б) $\sqrt{1} = -1;$

в) $\sqrt{1,69} = 1,3;$

г) $\sqrt{0,16} = 0,04;$

д) $\sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9};$

е) $\sqrt{3\frac{1}{16}} = 3,5.$

Для проверки каждого равенства воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Равенство $\sqrt{a} = b$ является верным, если выполняются два условия:

1. $b \ge 0$ (результат извлечения корня — неотрицательное число).
2. $b^2 = a$ (квадрат результата равен подкоренному выражению).

Проверяем условия:
1) $5 \ge 0$ (верно).
2) $5^2 = 25$ (верно).
Оба условия выполняются, следовательно, равенство верное.
Ответ: Верно.

Проверяем первое условие:
1) $-1 \ge 0$ (неверно).
Арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным числом. Равенство неверное.
Ответ: Неверно.

Проверяем условия:
1) $1,3 \ge 0$ (верно).
2) $(1,3)^2 = 1,3 \times 1,3 = 1,69$ (верно).
Оба условия выполняются, следовательно, равенство верное.
Ответ: Верно.

Проверяем второе условие:
2) $(0,04)^2 = 0,04 \times 0,04 = 0,0016$.
Так как $0,0016 \ne 0,16$, равенство неверное. (Правильное значение: $\sqrt{0,16} = 0,4$).
Ответ: Неверно.

Проверяем условия:
1) $\frac{4}{9} \ge 0$ (верно).
2) $(\frac{4}{9})^2 = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$ (верно).
Оба условия выполняются, следовательно, равенство верное.
Ответ: Верно.

Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:$3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}$. Теперь найдем значение корня: $\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$. Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{4}$ в смешанное число, выделив целую часть: $\frac{7}{4} = \mathbf{1}\frac{3}{4}$. Правая часть равенства $3,5$ в виде смешанного числа равна $3\frac{1}{2}$, а в виде неправильной дроби $\frac{7}{2}$. Ее целая часть равна 3. Сравниваем полученный результат с правой частью исходного равенства:$\mathbf{1}\frac{3}{4} \ne 3,5$ (или $1,75 \ne 3,5$). Равенство неверное.
Ответ: Неверно.

Таким образом, верными являются равенства: а), в), д).