устные вопросы и задания в § 6, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Верно ли, что если число является решением системы неравенств, то оно является решением каждого неравенства системы?

2. Верно ли, что если число является решением совокупности неравенств, то оно является решением каждого неравенства совокупности?

3. Может ли множество решений двойного неравенства состоять только из двух чисел?

1. Верно ли, что если число является решением системы неравенств, то оно является решением каждого неравенства системы?

Да, это утверждение верно. По определению, решением системы неравенств является значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы одновременно. Если число не является решением хотя бы одного из неравенств, оно не может быть решением всей системы.

Например, для системы неравенств $ \begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases} $ число $x=3$ является решением, так как оно удовлетворяет и первому неравенству ($3>2$), и второму ($3<5$). Число $x=6$ не является решением системы, так как не удовлетворяет второму неравенству ($6<5$ - ложно).

Ответ: Да.

2. Верно ли, что если число является решением совокупности неравенств, то оно является решением каждого неравенства совокупности?

Нет, это утверждение неверно. По определению, решением совокупности неравенств является значение переменной, которое удовлетворяет хотя бы одному из неравенств совокупности. Оно не обязано удовлетворять всем неравенствам.

Например, рассмотрим совокупность $ \left[ \begin{array}{l} x > 3 \\ x < 1 \end{array} \right. $. Число $x=4$ является решением этой совокупности, потому что оно удовлетворяет первому неравенству ($4>3$). Однако оно не удовлетворяет второму неравенству ($4<1$ - ложно). Следовательно, решение совокупности не обязано быть решением каждого ее неравенства.

Ответ: Нет.

3. Может ли множество решений двойного неравенства состоять только из двух чисел?

Да, может. Двойное неравенство вида $a \le f(x) \le b$ задает множество значений $x$, для которых значение функции $f(x)$ находится в промежутке $[a, b]$. Если $a=b$, то неравенство превращается в уравнение $f(x) = a$. Если это уравнение имеет ровно два корня, то и множество решений двойного неравенства будет состоять из двух чисел.

Например, рассмотрим двойное неравенство $16 \le x^2 \le 16$. Оно равносильно уравнению $x^2 = 16$. Корнями этого уравнения являются числа $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Таким образом, множество решений данного двойного неравенства состоит ровно из двух чисел: $\{-4, 4\}$.

Ответ: Да.