Номер 1.78, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.78. Докажите, что число $\sqrt{7}$ является иррациональным.

Для доказательства того, что число $\sqrt{7}$ является иррациональным, используется метод доказательства от противного.

1. Предположение.

Предположим, что $\sqrt{7}$ является рациональным числом. По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \neq 0$), и наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$ равен 1 (т.е. дробь несократима).

Итак, запишем наше предположение в виде равенства:

$\sqrt{7} = \frac{p}{q}$

2. Преобразование уравнения.

Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$(\sqrt{7})^2 = (\frac{p}{q})^2$

$7 = \frac{p^2}{q^2}$

Теперь умножим обе части на $q^2$:

$p^2 = 7q^2$

3. Анализ делимости.

Из уравнения $p^2 = 7q^2$ следует, что $p^2$ является числом, которое делится на 7 без остатка (поскольку оно равно произведению 7 и целого числа $q^2$).

Если квадрат целого числа ($p^2$) делится на простое число (в нашем случае, на 7), то и само это целое число ($p$) также должно делиться на это простое число.

Следовательно, $p$ делится на 7. Это означает, что $p$ можно представить в виде $p = 7k$, где $k$ — некоторое целое число.

4. Поиск противоречия.

Подставим выражение $p = 7k$ в наше уравнение $p^2 = 7q^2$:

$(7k)^2 = 7q^2$

$49k^2 = 7q^2$

Разделим обе части этого равенства на 7:

$7k^2 = q^2$

Теперь мы видим, что $q^2$ также делится на 7 (поскольку оно равно произведению 7 и целого числа $k^2$). По той же логике, что и в шаге 3, если $q^2$ делится на простое число 7, то и само число $q$ должно делиться на 7.

5. Вывод.

Таким образом, мы установили, что:

• Число $p$ делится на 7.
• Число $q$ делится на 7.

Это означает, что у чисел $p$ и $q$ есть общий делитель, равный 7. Однако это напрямую противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой.

Поскольку наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt{7}$ привело нас к логическому противоречию, это предположение неверно.

Следовательно, число $\sqrt{7}$ не является рациональным, а значит, оно иррационально. Что и требовалось доказать.