Номер 2.177, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.177. В период международных учений волонтеров Красного Креста было организовано несколько полевых лагерей, каждый из которых имел линию связи со всеми остальными. Сколько полевых лагерей было организовано, если количество линий связи равно 15?

Пусть $n$ — количество организованных полевых лагерей.

Согласно условию, каждый лагерь имел линию связи со всеми остальными. Это значит, что общее количество линий связи равно числу сочетаний из $n$ лагерей по 2, так как каждая линия связи соединяет ровно два лагеря.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $k=2$, поэтому формула упрощается до:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию задачи, количество линий связи равно 15. Составим и решим уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 15$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n-1) = 30$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 - n = 30$

$n^2 - n - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой для нахождения корней. По теореме Виета, произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $1$. Подбором находим корни:

$n_1 = 6$

$n_2 = -5$

Поскольку количество лагерей ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n = -5$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, единственным подходящим решением является $n = 6$.

Ответ: 6