Номер 2.180, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.180. Облицовочная плитка имеет форму квадрата. Когда от плитки отрезали полосу шириной 5 см, ее площадь стала равна $150 \text{ см}^2$. Найдите первоначальные размеры плитки.

Пусть первоначальная сторона квадратной плитки равна $x$ см. Тогда ее площадь была $S_{начальная} = x^2$ см².

Когда от плитки отрезали полосу шириной 5 см, одна из ее сторон стала короче на 5 см. Новые размеры плитки стали $x$ см и $(x-5)$ см. Плитка приобрела форму прямоугольника.

Площадь получившейся прямоугольной плитки равна $S_{новая} = x \cdot (x-5)$ см².

Согласно условию задачи, новая площадь составляет 150 см². На основе этого мы можем составить уравнение:

$x(x-5) = 150$

Для решения уравнения раскроем скобки и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x = 150$

$x^2 - 5x - 150 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Проще всего это сделать с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-5$, $c=-150$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 25}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Длина стороны плитки не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x_2 = -10$ не является решением задачи.

Следовательно, единственно верное решение — $x=15$ см. Это и есть длина стороны первоначальной квадратной плитки.

Ответ: первоначальные размеры плитки были 15 см × 15 см.