Номер 3.124, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.124. Приведите пример квадратичной функции, принимающей отрицательные значения только на:

а) промежутке $(-5; 5)$;

б) промежутках $(-\infty; 4)$ и $(7; +\infty)$.

а) Чтобы квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ принимала отрицательные значения только на промежутке $(-5; 5)$, ее график (парабола) должен пересекать ось Ox в точках $x=-5$ и $x=5$. Это означает, что $x_1=-5$ и $x_2=5$ являются корнями функции.
Следовательно, функцию можно записать в виде $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Подставим наши корни: $y = a(x - (-5))(x-5) = a(x+5)(x-5) = a(x^2-25)$.
Поскольку функция должна быть отрицательной между корнями (на интервале $(-5; 5)$), ветви параболы должны быть направлены вверх. Это условие выполняется, когда старший коэффициент $a > 0$.
Выберем простейшее положительное значение для $a$, например, $a=1$.
Тогда искомая функция будет иметь вид: $y = 1 \cdot (x^2-25) = x^2-25$.
Проверим: корни уравнения $x^2-25=0$ это $x=\pm5$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$), значит, функция отрицательна между корнями, то есть на интервале $(-5; 5)$. Условие выполнено.
Ответ: $y=x^2-25$.

б) Чтобы квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ принимала отрицательные значения только на промежутках $(-\infty; 4)$ и $(7; +\infty)$, ее график (парабола) должен пересекать ось Ox в точках $x=4$ и $x=7$. Это означает, что $x_1=4$ и $x_2=7$ являются корнями функции.
Следовательно, функцию можно записать в виде $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Подставим наши корни: $y = a(x-4)(x-7) = a(x^2-11x+28)$.
Поскольку функция должна быть отрицательной вне отрезка между корнями (на промежутках $(-\infty; 4)$ и $(7; +\infty)$), ветви параболы должны быть направлены вниз. Это условие выполняется, когда старший коэффициент $a < 0$.
Выберем простейшее отрицательное значение для $a$, например, $a=-1$.
Тогда искомая функция будет иметь вид: $y = -1 \cdot (x^2-11x+28) = -x^2+11x-28$.
Проверим: корни уравнения $-x^2+11x-28=0$ это $x=4$ и $x=7$. Ветви параболы направлены вниз ($a=-1<0$), значит, функция отрицательна вне интервала между корнями, то есть на $(-\infty; 4) \cup (7; +\infty)$. Условие выполнено.
Ответ: $y=-x^2+11x-28$.