Номер 3.17, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Рис. 54

3.17. Определите, в какой координатной четверти находится вершина параболы:

а) $f(x) = x^2 - 6x + 7;$

б) $f(x) = -2x^2 + 8x - 1;$

в) $f(x) = 4x^2 + 4x - 5;$

г) $f(x) = -3x^2 - 12x.$

Запишите уравнение оси симметрии для каждой параболы.

Для определения координат вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, используются формулы:

• Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$
• Ордината вершины: $y_v = f(x_v)$

Уравнение оси симметрии параболы имеет вид $x = x_v$.

Координатная четверть определяется знаками координат вершины $(x_v, y_v)$:

• I четверть: $x_v > 0, y_v > 0$
• II четверть: $x_v < 0, y_v > 0$
• III четверть: $x_v < 0, y_v < 0$
• IV четверть: $x_v > 0, y_v < 0$

а) $f(x) = x^2 - 6x + 7$

Коэффициенты: $a=1, b=-6, c=7$.

Находим координаты вершины:

$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$y_v = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Так как $x_v > 0$ и $y_v < 0$, вершина расположена в IV координатной четверти.

Ответ: вершина параболы находится в IV координатной четверти; уравнение оси симметрии: $x=3$.

б) $f(x) = -2x^2 + 8x - 1$

Коэффициенты: $a=-2, b=8, c=-1$.

Находим координаты вершины:

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

$y_v = f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 1 = -8 + 16 - 1 = 7$

Вершина параболы находится в точке $(2, 7)$. Так как $x_v > 0$ и $y_v > 0$, вершина расположена в I координатной четверти.

Ответ: вершина параболы находится в I координатной четверти; уравнение оси симметрии: $x=2$.

в) $f(x) = 4x^2 + 4x - 5$

Коэффициенты: $a=4, b=4, c=-5$.

Находим координаты вершины:

$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 4} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

$y_v = f(-\frac{1}{2}) = 4 \cdot (-\frac{1}{2})^2 + 4 \cdot (-\frac{1}{2}) - 5 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$

Вершина параболы находится в точке $(-\frac{1}{2}, -6)$. Так как $x_v < 0$ и $y_v < 0$, вершина расположена в III координатной четверти.

Ответ: вершина параболы находится в III координатной четверти; уравнение оси симметрии: $x=-\frac{1}{2}$.

г) $f(x) = -3x^2 - 12x$

Коэффициенты: $a=-3, b=-12, c=0$.

Находим координаты вершины:

$x_v = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{-6} = -2$

$y_v = f(-2) = -3 \cdot (-2)^2 - 12 \cdot (-2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$

Вершина параболы находится в точке $(-2, 12)$. Так как $x_v < 0$ и $y_v > 0$, вершина расположена во II координатной четверти.

Ответ: вершина параболы находится во II координатной четверти; уравнение оси симметрии: $x=-2$.