Номер 3.183, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.183. Решите неравенство:

a) $(x+3)(x-2) \le 6 - x^2 - x;$

б) $2x(3x+1) > (3x-1)(x+3).$

а) Решим неравенство $(x + 3)(x - 2) \le 6 - x^2 - x$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 2x + 3x - 6 \le 6 - x^2 - x$

$x^2 + x - 6 \le 6 - x^2 - x$

Теперь перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x - 6 - 6 + x^2 + x \le 0$

$2x^2 + 2x - 12 \le 0$

Разделим обе части неравенства на 2, так как это не изменит знак неравенства:

$x^2 + x - 6 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Отсюда находим корни:

$x_1 = -3$

$x_2 = 2$

Квадратичная функция $y = x^2 + x - 6$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-3, 2]$.

б) Решим неравенство $2x(3x + 1) > (3x - 1)(x + 3)$.

Раскроем скобки в обеих частях:

$6x^2 + 2x > 3x^2 + 9x - x - 3$

$6x^2 + 2x > 3x^2 + 8x - 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$6x^2 + 2x - 3x^2 - 8x + 3 > 0$

$3x^2 - 6x + 3 > 0$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x^2 - 2x + 1 > 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:

$(x - 1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$.

Строгое неравенство $(x - 1)^2 > 0$ будет выполняться для всех значений $x$, за исключением того случая, когда выражение равно нулю.

Найдем, при каком $x$ выражение равно нулю:

$(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, кроме $x=1$.

Запишем решение в виде объединения интервалов: $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.