Номер 3.26, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.26. Постройте график квадратичной функции:

a) $y = (x - 1)^2 - 4$;

б) $y = -2(x + 3)^2 + 8$;

в) $y = (x - 5)(x + 1)$;

г) $y = -\frac{1}{2}(x + 3)(x - 7).$

Можно ли определить ось симметрии параболы, не выполняя построение графика?

Для построения графика каждой квадратичной функции (параболы) необходимо определить ее ключевые характеристики: направление ветвей, координаты вершины, ось симметрии и точки пересечения с осями координат.

Функция задана в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

• Направление ветвей: Коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$. Из уравнения следует, что $h=1$ и $k=-4$. Вершина находится в точке $(1, -4)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = h$, то есть $x = 1$.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью OY (при $x=0$): $y = (0-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(0, -3)$.
  • С осью OX (при $y=0$): $(x-1)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 4 \Rightarrow x-1 = \pm 2$. Корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. Точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(1, -4)$, ветвями вверх, пересекающая оси координат в точках $(-1, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, -3)$.

Функция задана в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

• Направление ветвей: Коэффициент $a = -2$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$. Из уравнения $y = -2(x - (-3))^2 + 8$ следует, что $h=-3$ и $k=8$. Вершина находится в точке $(-3, 8)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = h$, то есть $x = -3$.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью OY (при $x=0$): $y = -2(0+3)^2 + 8 = -2(9) + 8 = -18 + 8 = -10$. Точка $(0, -10)$.
  • С осью OX (при $y=0$): $-2(x+3)^2 + 8 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x+3 = \pm 2$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = -5$. Точки $(-1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-3, 8)$, ветвями вниз, пересекающая оси координат в точках $(-5, 0)$, $(-1, 0)$ и $(0, -10)$.

Функция задана в виде произведения, что позволяет легко найти ее корни (точки пересечения с осью OX). Это форма $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.

• Направление ветвей: Раскрыв скобки, получим $y = x^2 - 4x - 5$. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Точки пересечения с осью OX: Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Точки $(5, 0)$ и $(-1, 0)$.
• Ось симметрии: Проходит ровно посередине между корнями: $x = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
• Вершина параболы: Абсцисса вершины равна $x=2$. Подставляем это значение в уравнение, чтобы найти ординату: $y = (2 - 5)(2 + 1) = (-3)(3) = -9$. Вершина находится в точке $(2, -9)$.
• Точка пересечения с осью OY: При $x=0$: $y = (0-5)(0+1) = -5$. Точка $(0, -5)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -9)$, ветвями вверх, пересекающая оси координат в точках $(-1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

Функция задана в виде $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.

• Направление ветвей: Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Точки пересечения с осью OX: Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 7$. Точки $(-3, 0)$ и $(7, 0)$.
• Ось симметрии: Проходит посередине между корнями: $x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
• Вершина параболы: Абсцисса вершины $x=2$. Ордината вершины: $y = -\frac{1}{2}(2+3)(2-7) = -\frac{1}{2}(5)(-5) = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2}$. Вершина находится в точке $(2, 12\frac{1}{2})$.
• Точка пересечения с осью OY: При $x=0$: $y = -\frac{1}{2}(0+3)(0-7) = -\frac{1}{2}(-21) = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}$. Точка $(0, 10\frac{1}{2})$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, 12\frac{1}{2})$, ветвями вниз, пересекающая оси координат в точках $(-3, 0)$, $(7, 0)$ и $(0, 10\frac{1}{2})$.

Можно ли определить ось симметрии параболы, не выполняя построение графика?

Да, можно. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение этой прямой можно найти аналитически, не прибегая к построению графика. Способ определения зависит от формы, в которой задана квадратичная функция.

1. Стандартная форма: $y = ax^2 + bx + c$
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Соответственно, ось симметрии — это прямая $x = -\frac{b}{2a}$.
2. Вершинная форма: $y = a(x - h)^2 + k$
   Эта форма напрямую указывает координаты вершины $(h, k)$. Осью симметрии является прямая $x = h$.
3. Форма с корнями (разложенная на множители): $y = a(x - x_1)(x - x_2)$
   Эта форма дает корни параболы $x_1$ и $x_2$. Ось симметрии находится ровно посередине между корнями, и ее уравнение $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Таким образом, во всех случаях ось симметрии можно определить с помощью алгебраических вычислений на основе данных из уравнения функции.