Номер 3.70, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.70. Нулями квадратичной функции $y = 3x^2 + bx + c$ являются числа $-4$ и $5$. Найдите:

а) координаты вершины параболы;

б) ось симметрии параболы;

в) наименьшее значение функции.

Дана квадратичная функция $y = 3x^2 + bx + c$. Нули этой функции (точки пересечения с осью Ox) — это $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$.

а) координаты вершины параболы;
Абсцисса (координата x) вершины параболы $x_v$ находится ровно посередине между ее нулями: $$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 5}{2} = \frac{1}{2}$$ Чтобы найти ординату (координату y) вершины $y_v$, можно использовать разложенную на множители форму квадратного уравнения $y = a(x-x_1)(x-x_2)$. Подставим известные значения $a=3$, $x_1=-4$, $x_2=5$ и найденное значение $x_v = \frac{1}{2}$: $$y_v = 3(x_v - x_1)(x_v - x_2) = 3\left(\frac{1}{2} - (-4)\right)\left(\frac{1}{2} - 5\right)$$ $$y_v = 3\left(\frac{1}{2} + 4\right)\left(\frac{1}{2} - 5\right) = 3\left(\frac{1+8}{2}\right)\left(\frac{1-10}{2}\right) = 3\left(\frac{9}{2}\right)\left(-\frac{9}{2}\right) = -\frac{3 \cdot 81}{4} = -\frac{243}{4}$$ Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть: $$-\frac{243}{4} = -60\frac{3}{4}$$ Таким образом, координаты вершины параболы равны $(\frac{1}{2}; -60\frac{3}{4})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; -\mathbf{60}\frac{3}{4})$

б) ось симметрии параболы;
Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение этой прямой имеет вид $x = x_v$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$

в) наименьшее значение функции.
Поскольку коэффициент при $x^2$ ($a=3$) положителен, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, и оно достигается в вершине параболы. Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_v$. $$y_{min} = y_v = -\frac{243}{4} = -60\frac{3}{4}$$ Ответ: $-\mathbf{60}\frac{3}{4}$