Номер 3.96, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.96. На рисунке 76 изображен график квадратичной функции $y = f(x)$. Верно ли, что $f(3) > 0$, $f(-1) < 0$, $f(0) = 0$, $f(5) < 0$? Запишите несколько значений аргумента, при которых $f(x) > 0$, $f(x) < 0$.

Рис. 76

Для полного ответа на поставленные вопросы сначала определим уравнение квадратичной функции $y = f(x)$, график которой изображен на рисунке.

Из графика видно, что парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, где $x = -2$ и $x = 4$. Это нули функции. Также график пересекает ось ординат (Oy) в точке $(0, 3)$, что означает $f(0) = 3$.

Уравнение параболы, зная её нули $x_1$ и $x_2$, можно записать в виде $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Подставим наши значения:

$f(x) = a(x - (-2))(x - 4) = a(x + 2)(x - 4)$

Чтобы найти коэффициент $a$, используем точку $(0, 3)$:

$f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = 3$

$a \cdot (-8) = 3 \implies a = -\frac{3}{8}$

Следовательно, уравнение функции имеет вид: $f(x) = -\frac{3}{8}(x+2)(x-4)$.

Теперь ответим на вопросы задачи, используя полученную формулу и анализ графика.

$f(3) > 0$: Ответ: Утверждение верно. Это видно из графика: при $x=3$ соответствующая точка параболы находится выше оси Ox. Расчет подтверждает это: $f(3) = -\frac{3}{8}(3+2)(3-4) = -\frac{3}{8}(5)(-1) = \frac{15}{8} = \textbf{1}\frac{7}{8}$.

$f(-1) < 0$: Ответ: Утверждение неверно. На графике при $x=-1$ точка находится выше оси Ox, то есть $f(-1) > 0$. Расчет дает точное значение: $f(-1) = -\frac{3}{8}(-1+2)(-1-4) = -\frac{3}{8}(1)(-5) = \frac{15}{8} = \textbf{1}\frac{7}{8}$.

$f(0) = 0$: Ответ: Утверждение неверно. Точка пересечения графика с осью Oy — это значение функции при $x=0$. Из графика видно, что $f(0) = 3$.

$f(5) < 0$: Ответ: Утверждение верно. На графике при $x=5$ точка находится ниже оси Ox. Точное значение: $f(5) = -\frac{3}{8}(5+2)(5-4) = -\frac{3}{8}(7)(1) = -\frac{21}{8} = -\textbf{2}\frac{5}{8}$.

Несколько значений аргумента, при которых $f(x) > 0$: Ответ: Функция принимает положительные значения на интервале, где её график расположен выше оси Ox. Судя по графику, это происходит при $x \in (-2; 4)$. Примеры таких значений: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 3$.

Несколько значений аргумента, при которых $f(x) < 0$: Ответ: Функция принимает отрицательные значения, когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$. Примеры таких значений: $x = -3$, $x = -5$, $x = 5$, $x = 6$.