Номер 37, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

37. Решите неравенство:

a) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5;$

б) $5x(x + 4) - (3 + 2x)(2x - 3) > 30.$

а) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5$

Для решения неравенства сначала раскроем скобки. Выражение $(2x + 1)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, а произведение $(x+1)(x-7)$ — по правилу умножения многочленов.

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 7x + x - 7) \le 5$

Упростим выражение во вторых скобках:

$4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) \le 5$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых на противоположные:

$4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 \le 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(4x^2 - x^2) + (4x + 6x) + (1 + 7) \le 5$

$3x^2 + 10x + 8 \le 5$

Перенесем 5 в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство:

$3x^2 + 10x + 8 - 5 \le 0$

$3x^2 + 10x + 3 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$

$x_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Графиком функции $y = 3x^2 + 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент $a=3 > 0$). Неравенство $3x^2 + 10x + 3 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решением является отрезок.

Ответ: $x \in [-3; -\frac{1}{3}]$.

б) $5x(x + 4) - (3 + 2x)(2x - 3) > 30$

Раскроем скобки в левой части неравенства. Выражение $(3 + 2x)(2x - 3)$ можно раскрыть по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=2x$ и $b=3$.

$5x(x + 4) - ((2x)^2 - 3^2) > 30$

$5x^2 + 20x - (4x^2 - 9) > 30$

Раскроем скобки, изменив знаки:

$5x^2 + 20x - 4x^2 + 9 > 30$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$(5x^2 - 4x^2) + 20x + 9 - 30 > 0$

$x^2 + 20x - 21 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 20x - 21 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -20$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -21$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -21$.

Графиком функции $y = x^2 + 20x - 21$ является парабола с ветвями вверх (так как $a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 20x - 21 > 0$ выполняется для значений $x$, которые находятся вне промежутка между корнями. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -21) \cup (1; +\infty)$.