Номер 4.79, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.79. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их общих точек:

а) $y = |x|$ и $y = 5$;

б) $y = |x|$ и $y = -x^2 + 6$.

Для решения задачи необходимо построить графики заданных функций в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты точек пересечения можно найти аналитически, решив систему уравнений.

График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Это "галочка", вершина которой находится в начале координат.
График функции $y = 5$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 5)$ параллельно оси абсцисс.

Чтобы найти координаты общих точек, нужно приравнять выражения для $y$: $$|x| = 5$$ Данное уравнение имеет два решения: $$x_1 = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = -5$$ Поскольку для обеих точек координата $y$ равна 5, мы получаем две точки пересечения.

График функции $y = |x|$ — "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$.
График функции $y = -x^2 + 6$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 6)$, так как при $x=0$, $y=6$ (максимальное значение).

Для нахождения координат общих точек приравниваем выражения для $y$: $$|x| = -x^2 + 6$$ Решим это уравнение, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $$x = -x^2 + 6$$ Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$x^2 + x - 6 = 0$$ Решаем уравнение (например, по теореме Виета или через дискриминант). Корни: $$x_1 = 2, \quad x_2 = -3$$ Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, корень $x_2 = -3$ является посторонним. Таким образом, $x = 2$. Найдем соответствующую координату $y$: $y = |2| = 2$. Первая точка пересечения: $(2, 2)$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $$-x = -x^2 + 6$$ Переносим все слагаемые в одну сторону: $$x^2 - x - 6 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Корни: $$x_1 = 3, \quad x_2 = -2$$ Поскольку мы рассматриваем случай $x < 0$, корень $x_1 = 3$ является посторонним. Таким образом, $x = -2$. Найдем соответствующую координату $y$: $y = |-2| = 2$. Вторая точка пересечения: $(-2, 2)$.