Номер 4, страница 140 - гдз по химии 8 класс учебник Шиманович, Красицкий

4. Дайте определение понятия «группа». Укажите различие между группами А и В.

Дайте определение понятия «группа»

В абстрактной алгебре группа — это непустое множество $G$, на котором задана бинарная операция $*: G \times G \to G$, удовлетворяющая следующим четырём аксиомам:

1. Замкнутость. Для любых элементов $a$ и $b$ из $G$ результат операции $a * b$ также является элементом множества $G$.
   Формально: $\forall a, b \in G \implies a * b \in G$.
2. Ассоциативность. Порядок выполнения операции не имеет значения для трёх и более элементов. Для любых $a, b, c$ из $G$ выполняется равенство $(a * b) * c = a * (b * c)$.
   Формально: $\forall a, b, c \in G \implies (a * b) * c = a * (b * c)$.
3. Наличие нейтрального (единичного) элемента. В множестве $G$ существует такой элемент $e$, что его применение с любым другим элементом $a$ оставляет этот элемент неизменным. То есть $a * e = e * a = a$.
   Формально: $\exists e \in G \quad \forall a \in G \implies a * e = e * a = a$.
4. Наличие обратного элемента. Для каждого элемента $a$ из $G$ существует такой элемент $a^{-1}$ (называемый обратным к $a$), что их взаимное применение даёт нейтральный элемент: $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$.
   Формально: $\forall a \in G \quad \exists a^{-1} \in G \implies a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$.

Ответ: Группа — это множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией, для которой существует нейтральный элемент и для каждого элемента существует обратный.

Укажите различие между группами А и В

Поскольку в условии задачи не определены группы А и В, для демонстрации различий между группами рассмотрим два конкретных примера.

Группа A: Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения, обозначается $(\mathbb{Z}, +)$.

• Операция сложения замкнута в $\mathbb{Z}$ (сумма двух целых — целое).
• Сложение ассоциативно: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
• Нейтральным элементом является $0$, так как $a+0 = a$.
• Для любого целого числа $a$ существует обратный элемент $-a$, так как $a + (-a) = 0$.

Эта группа обладает важным дополнительным свойством — коммутативностью (или абелевостью), поскольку для любых целых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $a + b = b + a$.

Группа B: Симметрическая группа $S_3$, то есть группа всех перестановок (биекций) множества из трёх элементов $\{1, 2, 3\}$ с операцией композиции (последовательного выполнения) перестановок. Эта группа состоит из $3! = 6$ элементов.

Эта группа также удовлетворяет всем четырём аксиомам группы (композиция функций ассоциативна, есть тождественная перестановка, для каждой перестановки есть обратная). Однако, в отличие от группы А, эта группа не является коммутативной (неабелева).

Продемонстрируем это на примере. Возьмём две перестановки из $S_3$ в циклической записи: $\sigma_1 = (1 \ 2)$ (меняет местами 1 и 2) и $\sigma_2 = (1 \ 3)$ (меняет местами 1 и 3). Найдём их композицию в разном порядке:

1. $\sigma_1 \circ \sigma_2 = (1 \ 2) \circ (1 \ 3)$. Чтобы узнать, куда переходит 1, смотрим сначала на правую перестановку: $1 \to 3$. Затем смотрим, куда переходит 3 в левой перестановке: $3 \to 3$. Итог: $1 \to 3$. Далее, для 3: $3 \to 1$ в правой, $1 \to 2$ в левой. Итог: $3 \to 2$. Для 2: $2 \to 2$ в правой, $2 \to 1$ в левой. Итог: $2 \to 1$. Получаем перестановку $(1 \ 3 \ 2)$.

2. $\sigma_2 \circ \sigma_1 = (1 \ 3) \circ (1 \ 2)$. Аналогично: $1 \to 2 \to 2$, $2 \to 1 \to 3$, $3 \to 3 \to 1$. Получаем перестановку $(1 \ 2 \ 3)$.

Поскольку $(1 \ 3 \ 2) \neq (1 \ 2 \ 3)$, то $\sigma_1 \circ \sigma_2 \neq \sigma_2 \circ \sigma_1$. Операция композиции в группе $S_3$ некоммутативна.

Таким образом, основное различие между рассмотренными группами А и В заключается в свойстве коммутативности.

Ответ: Основное различие между группой А (целые числа по сложению) и группой В (группа перестановок $S_3$) состоит в том, что группа А является коммутативной (абелевой), то есть для любых её элементов $a, b$ выполняется $a * b = b * a$, а группа В является некоммутативной (неабелевой), так как в ней существуют элементы, для которых $a * b \neq b * a$.