Номер 1138, страница 207 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$F = 1,96 \text{ кН}$

$I = 100 \text{ А}$

Нормальные условия

Массой оболочки пренебречь

$F = 1,96 \cdot 10^3 \text{ Н}$

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

Подъемная сила $F$ воздушного шара, наполненного водородом, представляет собой разность между выталкивающей силой Архимеда $F_{Арх}$, действующей на шар, и силой тяжести водорода $P_{H_2}$ внутри шара (массой оболочки пренебрегаем).

$F = F_{Арх} - P_{H_2}$

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:

$F_{Арх} = m_{возд} \cdot g = \rho_{возд} \cdot V \cdot g$

где $\rho_{возд}$ - плотность воздуха при нормальных условиях, $V$ - объем шара, $g$ - ускорение свободного падения.

Сила тяжести водорода:

$P_{H_2} = m_{H_2} \cdot g = \rho_{H_2} \cdot V \cdot g$

где $m_{H_2}$ и $\rho_{H_2}$ - масса и плотность водорода при нормальных условиях.

Тогда подъемная сила равна:

$F = (\rho_{возд} - \rho_{H_2}) \cdot V \cdot g$

Из этой формулы можно выразить массу водорода $m_{H_2}$. Для этого выразим объем $V$ через массу водорода $V = m_{H_2} / \rho_{H_2}$ и подставим в уравнение для подъемной силы:

$F = (\rho_{возд} - \rho_{H_2}) \cdot \frac{m_{H_2}}{\rho_{H_2}} \cdot g = (\frac{\rho_{возд}}{\rho_{H_2}} - 1) \cdot m_{H_2} \cdot g$

Согласно закону Авогадро, при одинаковых условиях (температуре и давлении) отношение плотностей газов равно отношению их молярных масс. Для нормальных условий:

$\frac{\rho_{возд}}{\rho_{H_2}} = \frac{M_{возд}}{M_{H_2}}$

где $M_{возд}$ - средняя молярная масса воздуха ($\approx 0,029 \text{ кг/моль}$), $M_{H_2}$ - молярная масса водорода ($\approx 0,002 \text{ кг/моль}$).

Подставим это соотношение в формулу для подъемной силы:

$F = (\frac{M_{возд}}{M_{H_2}} - 1) \cdot m_{H_2} \cdot g$

Отсюда найдем массу водорода, необходимую для создания заданной подъемной силы:

$m_{H_2} = \frac{F}{g \cdot (\frac{M_{возд}}{M_{H_2}} - 1)}$

Масса вещества, выделяющегося при электролизе, определяется по объединенному закону Фарадея:

$m = k \cdot I \cdot \Delta t = \frac{M}{z \cdot F_A} \cdot I \cdot \Delta t$

где $k$ - электрохимический эквивалент, $I$ - сила тока, $\Delta t$ - время электролиза, $M$ - молярная масса выделяющегося вещества, $z$ - число электронов, участвующих в реакции на один ион (для водорода $H_2$, который образуется из ионов $H^+$, $z=2$), $F_A$ - постоянная Фарадея ($F_A \approx 96485 \text{ Кл/моль}$).

Для водорода формула имеет вид:

$m_{H_2} = \frac{M_{H_2}}{z \cdot F_A} \cdot I \cdot \Delta t$

Приравняем два выражения для массы водорода $m_{H_2}$:

$\frac{F}{g \cdot (\frac{M_{возд}}{M_{H_2}} - 1)} = \frac{M_{H_2}}{z \cdot F_A} \cdot I \cdot \Delta t$

Выразим искомое время электролиза $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{F \cdot z \cdot F_A}{g \cdot (\frac{M_{возд}}{M_{H_2}} - 1) \cdot M_{H_2} \cdot I} = \frac{F \cdot z \cdot F_A}{g \cdot (M_{возд} - M_{H_2}) \cdot I}$

Подставим численные значения. Используем справочные данные: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$, $F_A \approx 9,65 \cdot 10^4 \text{ Кл/моль}$, $M_{возд} \approx 0,029 \text{ кг/моль}$, $M_{H_2} \approx 0,002 \text{ кг/моль}$, $z=2$.

$\Delta t = \frac{1,96 \cdot 10^3 \text{ Н} \cdot 2 \cdot 9,65 \cdot 10^4 \text{ Кл/моль}}{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,029 \text{ кг/моль} - 0,002 \text{ кг/моль}) \cdot 100 \text{ А}}$

$\Delta t = \frac{1960 \cdot 2 \cdot 96500}{9,8 \cdot 0,027 \cdot 100} = \frac{200 \cdot 2 \cdot 96500}{2,7} = \frac{400 \cdot 96500}{2,7} = \frac{38600000}{2,7} \approx 14296296 \text{ с}$

Переведем время в более крупные единицы для наглядности:

$14296296 \text{ с} \approx 3971,2 \text{ ч} \approx 165,5 \text{ суток}$

Ответ: $1,43 \cdot 10^7$ с или примерно 165,5 суток.