Номер 1144, страница 208 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Энергия ионизации молекул водорода: $W_и = 2,5 \cdot 10^{-18}$ Дж

Средняя длина свободного пробега электронов: $λ = 5,0$ мкм

Справочные данные:

Элементарный заряд (модуль заряда электрона): $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона: $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

Перевод в систему СИ:

$λ = 5,0 \text{ мкм} = 5,0 \cdot 10^{-6}$ м

Найти:

$E$ — ? (модуль напряженности электростатического поля)

$v$ — ? (модуль скорости электронов при столкновении)

Решение:

Модуль напряженности E, при котором начнется самостоятельный разряд

Самостоятельный разряд в газе начинается тогда, когда свободные электроны, ускоряемые электрическим полем, на длине своего свободного пробега $λ$ приобретают кинетическую энергию $W_к$, достаточную для ионизации нейтральных молекул газа при столкновении. Эта кинетическая энергия равна работе $A$, совершаемой силами электрического поля.

Работа электрического поля по перемещению электрона на расстояние $λ$ вычисляется по формуле:

$A = F \cdot λ = (e \cdot E) \cdot λ$

где $F$ — сила, действующая на электрон, $e$ — элементарный заряд, $E$ — модуль напряженности поля.

Минимальное условие для начала ионизации (и, следовательно, разряда) заключается в том, что работа поля должна быть равна энергии ионизации:

$A = W_и$

$e \cdot E \cdot λ = W_и$

Отсюда можно выразить искомый модуль напряженности $E$:

$E = \frac{W_и}{e \cdot λ}$

Подставим числовые значения:

$E = \frac{2,5 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{2,5 \cdot 10^{-18}}{8,0 \cdot 10^{-25}} \frac{\text{В}}{\text{м}} = 0,3125 \cdot 10^7 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Приводя к стандартному виду и округляя до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$E \approx 3,1 \cdot 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: Модуль напряженности электростатического поля, при котором начнется самостоятельный разряд, составляет примерно $3,1 \cdot 10^6$ В/м (или 3,1 МВ/м).

Модуль скорости v электронов при столкновении с молекулой

В момент столкновения с молекулой, при минимальных условиях для начала разряда, электрон обладает кинетической энергией $W_к$, равной энергии ионизации $W_и$.

$W_к = W_и = 2,5 \cdot 10^{-18}$ Дж

Кинетическая энергия связана со скоростью $v$ и массой $m_e$ электрона следующим соотношением:

$W_к = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравняем два выражения для энергии, чтобы найти скорость:

$\frac{m_e v^2}{2} = W_и$

Выразим скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot W_и}{m_e}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{5,0 \cdot 10^{-18}}{9,11 \cdot 10^{-31}}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{0,5488 \cdot 10^{13}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx \sqrt{5,488 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,343 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$v \approx 2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Модуль скорости электронов при столкновении с молекулой составляет примерно $2,3 \cdot 10^6$ м/с.