Номер 282, страница 57 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

масса груза, $m = 0,10$ кг

длина стержня, $l = 0,80$ м

частота вращения, $ν = 2,0 \text{ с}^{-1}$ (Гц)

ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

модуль силы упругости в верхней точке, $F_1$ - ?

модуль силы упругости в нижней точке, $F_2$ - ?

Решение:

При вращении в вертикальной плоскости на груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости стержня $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль стержня. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма этих сил равна произведению массы тела на его ускорение. Так как тело движется по окружности, его ускорение является центростремительным и направлено к центру окружности.

Модуль центростремительного ускорения $a_c$ постоянен, так как частота вращения не меняется. Он определяется по формуле:

$a_c = \omega^2 l$

где $\omega$ - угловая скорость, а $l$ - радиус окружности (длина стержня). Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Тогда формула для ускорения примет вид:

$a_c = (2\pi\nu)^2 l = 4\pi^2\nu^2l$

Вычислим значение центростремительного ускорения:

$a_c = 4\pi^2(2,0 \text{ с}^{-1})^2 \cdot 0,80 \text{ м} = 4\pi^2 \cdot 4,0 \text{ с}^{-2} \cdot 0,80 \text{ м} = 12,8\pi^2 \text{ м/с}^2 \approx 126,3 \text{ м/с}^2$

Теперь рассмотрим силы, действующие на груз в верхней и нижней точках траектории.

Модуль силы упругости в верхней точке ($F_1$)

В верхней точке траектории сила тяжести $m\vec{g}$ и сила упругости стержня $\vec{F}_1$ направлены в одну сторону — вертикально вниз, к центру окружности. Их сумма сообщает телу центростремительное ускорение $\vec{a}_c$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$F_1 + mg = ma_c$

Отсюда выражаем модуль силы упругости $F_1$:

$F_1 = ma_c - mg = m(a_c - g)$

Подставляем числовые значения:

$F_1 = 0,10 \text{ кг} \cdot (126,3 \text{ м/с}^2 - 9,8 \text{ м/с}^2) = 0,10 \text{ кг} \cdot 116,5 \text{ м/с}^2 = 11,65 \text{ Н}$

Так как данные в условии задачи даны с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $F_1 \approx 12 \text{ Н}$.

Модуль силы упругости в нижней точке ($F_2$)

В нижней точке траектории сила упругости стержня $\vec{F}_2$ направлена вверх (к центру окружности), а сила тяжести $m\vec{g}$ — вниз. Их равнодействующая также сообщает телу центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, направленное вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_2 - mg = ma_c$

Отсюда выражаем модуль силы упругости $F_2$:

$F_2 = ma_c + mg = m(a_c + g)$

Подставляем числовые значения:

$F_2 = 0,10 \text{ кг} \cdot (126,3 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2) = 0,10 \text{ кг} \cdot 136,1 \text{ м/с}^2 = 13,61 \text{ Н}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $F_2 \approx 14 \text{ Н}$.