Номер 642, страница 120 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 10$ кг

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

$a = 5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$\eta = 20 \% = 0,2$

$T = \text{const}$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Найти:

$p_a$ - ?

Решение:

Рассмотрим два состояния системы: начальное (1), когда цилиндр покоится, и конечное (2), когда он движется с ускорением.

В начальном состоянии поршень находится в равновесии. На него действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила атмосферного давления $F_a = p_a S$ и сила давления воздуха в цилиндре $F_1 = p_1 S$. Силы $mg$ и $F_a$ направлены вниз, а сила $F_1$ — вверх. Запишем условие равновесия для поршня (второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось):

$p_1 S - p_a S - mg = 0$

Отсюда давление воздуха в цилиндре в первом состоянии:

$p_1 = p_a + \frac{mg}{S}$ (1)

В конечном состоянии цилиндр вместе с поршнем движется с ускорением $a$, направленным вертикально вверх. Давление воздуха внутри цилиндра становится равным $p_2$. Запишем второй закон Ньютона для поршня:

$p_2 S - p_a S - mg = ma$

Отсюда давление воздуха в цилиндре во втором состоянии:

$p_2 = p_a + \frac{m(g+a)}{S}$ (2)

По условию, температура воздуха в цилиндре остается постоянной ($T = \text{const}$), следовательно, процесс перехода из состояния 1 в состояние 2 является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Объем воздуха в цилиндре пропорционален высоте столба воздуха: $V_1 = S h_1$ и $V_2 = S h_2$. Из условия известно, что высота столба воздуха уменьшилась на $\eta = 20\%$, значит, новая высота $h_2 = h_1 - \eta h_1 = h_1(1-\eta)$.

Подставим выражения для объемов в закон Бойля-Мариотта:

$p_1 S h_1 = p_2 S h_1(1-\eta)$

Сократив на $S h_1$, получим связь между давлениями:

$p_1 = p_2 (1-\eta)$ (3)

Теперь подставим выражения для давлений $p_1$ (1) и $p_2$ (2) в уравнение (3):

$p_a + \frac{mg}{S} = \left( p_a + \frac{m(g+a)}{S} \right) (1-\eta)$

Раскроем скобки и выразим искомое атмосферное давление $p_a$:

$p_a + \frac{mg}{S} = p_a(1-\eta) + \frac{m(g+a)(1-\eta)}{S}$

$p_a - p_a(1-\eta) = \frac{m(g+a)(1-\eta)}{S} - \frac{mg}{S}$

$p_a \eta = \frac{m}{S} \left( (g+a)(1-\eta) - g \right)$

$p_a \eta = \frac{m}{S} (g - g\eta + a - a\eta - g)$

$p_a \eta = \frac{m}{S} (a - (g+a)\eta)$

Отсюда находим итоговую формулу для $p_a$:

$p_a = \frac{m}{S\eta} (a - (g+a)\eta)$

Подставим числовые значения:

$p_a = \frac{10 \text{ кг}}{10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 0,2} \left( 5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}+5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) \cdot 0,2 \right)$

$p_a = \frac{10}{0,2 \cdot 10^{-3}} (5,0 - 15 \cdot 0,2) = 50 \cdot 10^3 (5,0 - 3,0)$

$p_a = 50000 \cdot 2,0 = 100000 \text{ Па}$

Переведем результат в килопаскали: $100000 \text{ Па} = 100 \text{ кПа}$.

Ответ: $p_a = 100 \text{ кПа}$.