Номер 647, страница 121 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$p_1 = 730$ мм рт. ст.

$t_1 = 30,0$ °C

$p_2 = 780$ мм рт. ст.

$t_2 = -30,0$ °C

Перевод в систему СИ:

Для расчетов в термодинамике температуру необходимо перевести в абсолютную шкалу Кельвина (К).

$T_1 = t_1 + 273,15 = 30,0 + 273,15 = 303,15$ К

$T_2 = t_2 + 273,15 = -30,0 + 273,15 = 243,15$ К

Давление дано в миллиметрах ртутного столба. Поскольку мы ищем отношение давлений, их можно не переводить в Паскали (Па), так как единицы измерения сократятся.

Найти:

$\frac{\rho_2}{\rho_1}$

Решение:

Будем считать воздух идеальным газом. Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$.

Выразим плотность из уравнения состояния. Для этого преобразуем его:

$p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M}$

Подставив выражение для плотности, получим:

$p = \rho \frac{RT}{M}$

Из этого уравнения выразим плотность:

$\rho = \frac{pM}{RT}$

Запишем выражения для плотности воздуха в летний день (состояние 1) и в зимний день (состояние 2), учитывая, что молярная масса воздуха $M$ и газовая постоянная $R$ не изменяются:

$\rho_1 = \frac{p_1 M}{R T_1}$

$\rho_2 = \frac{p_2 M}{R T_2}$

Теперь найдем искомое отношение плотностей $\frac{\rho_2}{\rho_1}$, разделив второе выражение на первое:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\frac{p_2 M}{R T_2}}{\frac{p_1 M}{R T_1}} = \frac{p_2 M R T_1}{p_1 M R T_2}$

Сократив одинаковые величины ($M$ и $R$), получим окончательную формулу для расчета:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{780}{730} \cdot \frac{303,15}{243,15}$

Произведем вычисления:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} \approx 1,0685 \cdot 1,2468 \approx 1,332$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как исходные данные по давлению имеют три значащие цифры.

Ответ: $\frac{\rho_2}{\rho_1} \approx 1,33$.