Номер 772, страница 139 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ - гелий (He)

Количество вещества, $\nu = 10 \text{ моль}$

Начальная температура, $t_1 = 27 \text{ °C}$

Сообщенное количество теплоты, $Q = 3,0 \text{ кДж}$

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$

Перевод в систему СИ:

$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$Q = 3,0 \times 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

Процентное увеличение давления, $k$

Решение:

Поскольку гелий находится в закрытом баллоне, процесс его нагревания является изохорным, то есть происходит при постоянном объеме ($V = const$).

Согласно первому закону термодинамики, сообщенное газу количество теплоты $Q$ идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение работы $A$ против внешних сил: $Q = \Delta U + A$.

При изохорном процессе объем газа не меняется, следовательно, работа газа равна нулю ($A = p\Delta V = 0$). Таким образом, вся подведенная теплота идет на увеличение внутренней энергии газа:

$Q = \Delta U$

Гелий — это одноатомный идеальный газ. Изменение его внутренней энергии определяется формулой:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$, где $\Delta T = T_2 - T_1$ — изменение абсолютной температуры газа.

Приравнивая количество теплоты к изменению внутренней энергии, получаем:

$Q = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, который связывает давление и температуру газа:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Мы ищем относительное изменение давления в процентах ($k$):

$k = \frac{p_2 - p_1}{p_1} \times 100\%$

Из закона Шарля выразим конечное давление $p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}$ и подставим в формулу для $k$:

$k = \frac{p_1 \frac{T_2}{T_1} - p_1}{p_1} \times 100\% = (\frac{T_2}{T_1} - 1) \times 100\% = \frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = \frac{\Delta T}{T_1} \times 100\%$

Из уравнения для теплоты выразим изменение температуры $\Delta T = \frac{2Q}{3\nu R}$ и подставим в полученное выражение для $k$:

$k = \frac{2Q}{3\nu R T_1} \times 100\%$

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления:

$k = \frac{2 \cdot 3,0 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{3 \cdot 10 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 300 \text{ К}} \times 100\% = \frac{6000}{74790} \times 100\% \approx 0,0802 \times 100\% \approx 8,0\%$

Ответ: давление гелия в баллоне увеличится на 8,0%.