Номер 96, страница 26 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$v = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$\phi = 60^\circ$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$|\Delta\vec{v}|$

Решение

Изменение скорости $\Delta\vec{v}$ — это векторная разность между конечной скоростью $\vec{v_2}$ в точке 2 и начальной скоростью $\vec{v_1}$ в точке 1.

$\Delta\vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$

По условию, тело движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью. Это означает, что модули векторов начальной и конечной скоростей равны:

$|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Вектор скорости при движении по окружности всегда направлен по касательной к траектории. Угол поворота тела от точки 1 до точки 2 составляет $\phi = 60^\circ$. Этот же угол будет и между векторами скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, если их отложить из одной точки.

Для нахождения модуля разности двух векторов $|\Delta\vec{v}|$ можно воспользоваться геометрическим построением. Если отложить векторы $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ из одной точки, то вектор их разности $\Delta\vec{v}$ будет соединять их концы (направлен от конца $\vec{v_1}$ к концу $\vec{v_2}$). Вместе эти три вектора образуют треугольник.

Поскольку два вектора скорости имеют одинаковый модуль ($|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$), этот треугольник является равнобедренным. Угол между равными сторонами этого треугольника равен углу $\phi$ между векторами скоростей, то есть $60^\circ$.

Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $60^\circ$, является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны. Следовательно, модуль вектора изменения скорости $|\Delta\vec{v}|$ равен модулю скорости $v$.

$|\Delta\vec{v}| = |\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$

$|\Delta\vec{v}| = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Альтернативно, можно использовать теорему косинусов для нахождения модуля разности векторов:

$|\Delta\vec{v}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 - 2|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cos\phi$

$|\Delta\vec{v}|^2 = v^2 + v^2 - 2v \cdot v \cos(60^\circ)$

$|\Delta\vec{v}|^2 = 2v^2 - 2v^2 \cdot \frac{1}{2} = 2v^2 - v^2 = v^2$

$|\Delta\vec{v}| = \sqrt{v^2} = v = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль изменения скорости равен $10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.