Номер 208, страница 132 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

208. Замените отношение чисел равным отношением взаимно простых чисел:

а) $18 : 24$;

б) $\frac{1}{3} : \frac{1}{7}$;

в) $1\frac{1}{4} : 2\frac{2}{3}$;

г) $10 : 15 : 40$.

а) Чтобы заменить отношение $18 : 24$ равным отношением взаимно простых чисел, необходимо найти их наибольший общий делитель (НОД) и разделить на него каждый член отношения.
Разложим числа 18 и 24 на простые множители:
$18 = 2 \cdot 3^2$
$24 = 2^3 \cdot 3$
Наибольший общий делитель — это произведение общих множителей в наименьшей степени: НОД(18, 24) = $2 \cdot 3 = 6$.
Теперь разделим оба члена отношения на 6:
$18 \div 6 = 3$
$24 \div 6 = 4$
Полученное отношение $3 : 4$ состоит из взаимно простых чисел, так как НОД(3, 4) = 1.
Ответ: $3 : 4$.

б) Для преобразования отношения дробей $\frac{1}{3} : \frac{1}{7}$ в отношение целых чисел, умножим оба члена на их наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
Знаменатели дробей — 3 и 7. Это простые числа, поэтому их НОК равен их произведению: НОК(3, 7) = $3 \cdot 7 = 21$.
Умножим каждый член отношения на 21:
$(\frac{1}{3} \cdot 21) : (\frac{1}{7} \cdot 21) = 7 : 3$.
Числа 7 и 3 являются простыми, следовательно, они взаимно простые.
Ответ: $7 : 3$ (данное отношение можно представить в виде неправильной дроби $\frac{7}{3}$, целая часть которой равна 2).

в) Сначала преобразуем смешанные числа $1\frac{1}{4}$ и $2\frac{2}{3}$ в неправильные дроби.
$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Теперь имеем отношение дробей: $\frac{5}{4} : \frac{8}{3}$.
Чтобы получить отношение целых чисел, умножим оба члена на НОК знаменателей (4 и 3), которое равно 12.
$(\frac{5}{4} \cdot 12) : (\frac{8}{3} \cdot 12) = (5 \cdot 3) : (8 \cdot 4) = 15 : 32$.
Проверим, являются ли числа 15 и 32 взаимно простыми. Разложим их на множители: $15 = 3 \cdot 5$, $32 = 2^5$. У них нет общих простых множителей, значит, они взаимно простые.
Ответ: $15 : 32$.

г) Для упрощения отношения трех чисел $10 : 15 : 40$ найдем их наибольший общий делитель.
Разложим числа на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
$40 = 2^3 \cdot 5$
Общий множитель для всех трех чисел — это 5. Следовательно, НОД(10, 15, 40) = 5.
Разделим каждый член отношения на 5:
$10 \div 5 = 2$
$15 \div 5 = 3$
$40 \div 5 = 8$
Полученное отношение $2 : 3 : 8$ состоит из взаимно простых чисел, так как их НОД равен 1.
Ответ: $2 : 3 : 8$.