Номер 31, страница 159 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

31. Дано множество $A = \{a, b, c, d\}$. Перечислите его подмножества, состоящие из:

а) одного элемента;

б) двух элементов;

в) трёх элементов.

Подмножество — это множество, каждый элемент которого также является элементом исходного множества. Дано исходное множество $A = \{a, b, c, d\}$, состоящее из 4 элементов.

Чтобы найти все подмножества с заданным числом элементов, мы должны составить все возможные комбинации (сочетания) элементов из исходного множества. Количество таких сочетаний из $n$ элементов по $k$ можно рассчитать по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

а) одного элемента;
Нам нужно найти все подмножества, состоящие из одного элемента. Для этого мы берем каждый элемент множества $A$ и помещаем его в отдельное множество. Количество таких подмножеств: $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Ответ: $\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}$.

б) двух элементов;
Нам нужно найти все подмножества, состоящие из двух элементов. Мы должны составить все возможные уникальные пары. Количество таких пар: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{4} = 6$.
Перечислим их:
- пары с элементом $a$: $\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}$;
- пары с элементом $b$ (без $a$): $\{b, c\}, \{b, d\}$;
- пара с элементом $c$ (без $a$ и $b$): $\{c, d\}$.
Ответ: $\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}$.

в) трёх элементов.
Нам нужно найти все подмножества, состоящие из трех элементов. Количество таких подмножеств: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$.
Такие подмножества можно легко найти, поочередно исключая по одному элементу из исходного множества $A$.
- исключаем $d$: $\{a, b, c\}$;
- исключаем $c$: $\{a, b, d\}$;
- исключаем $b$: $\{a, c, d\}$;
- исключаем $a$: $\{b, c, d\}$.
Ответ: $\{a, b, c\}, \{a, b, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}$.