Номер 63, страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

63. Найдите длину третьей стороны равнобедренного треугольника, если две другие равны:

а) $3 \text{ см}$ и $6 \text{ см}$; $9 \text{ см}$ и $14 \text{ см}$; $4 \text{ см}$ и $9 \text{ см}$;

б) $2 \text{ дм}$ и $7 \text{ дм}$; $6 \text{ дм}$ и $12 \text{ дм}$; $15 \text{ дм}$ и $20 \text{ дм}$;

в) $1 \text{ м}$ и $8 \text{ дм}$; $5 \text{ см}$ и $1 \text{ дм}$.

Для решения этой задачи нужно использовать два ключевых правила геометрии: определение равнобедренного треугольника и неравенство треугольника.

• Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны имеют одинаковую длину.
• Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.

Пусть нам даны две стороны $a$ и $b$. Поскольку треугольник равнобедренный, третья сторона $c$ должна быть равна одной из этих двух сторон. Рассмотрим два возможных случая:

1. Третья сторона равна меньшей из двух данных сторон. Пусть это сторона $a$. Тогда стороны треугольника равны $a, a, b$. Такой треугольник может существовать только в том случае, если выполняется неравенство $a + a > b$, то есть $2a > b$.
2. Третья сторона равна большей из двух данных сторон. Пусть это сторона $b$. Тогда стороны треугольника равны $a, b, b$. В этом случае неравенство $a + b > b$ всегда выполняется, так как длина стороны $a$ — положительное число.

Таким образом, для каждой пары данных сторон нужно проверить, может ли третья сторона быть равна меньшей из них. Если удвоенная меньшая сторона больше большей стороны, то возможны оба варианта. В противном случае возможен только один вариант: третья сторона равна большей из двух данных сторон.

а) Для сторон 3 см и 6 см: проверим вариант, где третья сторона равна 3 см. Для треугольника со сторонами (3, 3, 6) неравенство $3+3 > 6$ не выполняется ($6 \ngtr 6$). Следовательно, третья сторона может быть только 6 см.
Для сторон 9 см и 14 см: проверим вариант с третьей стороной 9 см. Для треугольника (9, 9, 14) неравенство $9+9 > 14$ ($18 > 14$) выполняется. Вариант со стороной 14 см также возможен. Значит, третья сторона может быть как 9 см, так и 14 см.
Для сторон 4 см и 9 см: проверим вариант с третьей стороной 4 см. Для треугольника (4, 4, 9) неравенство $4+4 > 9$ ($8 \ngtr 9$) не выполняется. Следовательно, третья сторона может быть только 9 см.
Ответ: 6 см; 9 см или 14 см; 9 см.

б) Для сторон 2 дм и 7 дм: проверим вариант с третьей стороной 2 дм. Для треугольника (2, 2, 7) неравенство $2+2 > 7$ ($4 \ngtr 7$) не выполняется. Следовательно, третья сторона равна 7 дм.
Для сторон 6 дм и 12 дм: проверим вариант с третьей стороной 6 дм. Для треугольника (6, 6, 12) неравенство $6+6 > 12$ ($12 \ngtr 12$) не выполняется. Следовательно, третья сторона равна 12 дм.
Для сторон 15 дм и 20 дм: проверим вариант с третьей стороной 15 дм. Для треугольника (15, 15, 20) неравенство $15+15 > 20$ ($30 > 20$) выполняется. Значит, возможны оба варианта: 15 дм и 20 дм.
Ответ: 7 дм; 12 дм; 15 дм или 20 дм.

в) Для сторон 1 м и 8 дм: сначала приведем длины к единым единицам. 1 м = 10 дм. Теперь имеем стороны 8 дм и 10 дм. Проверим вариант с третьей стороной 8 дм. Для треугольника (8, 8, 10) неравенство $8+8 > 10$ ($16 > 10$) выполняется. Следовательно, третья сторона может быть как 8 дм, так и 10 дм (что равно 1 м).
Для сторон 5 см и 1 дм: приведем длины к единым единицам. 1 дм = 10 см. Имеем стороны 5 см и 10 см. Проверим вариант с третьей стороной 5 см. Для треугольника (5, 5, 10) неравенство $5+5 > 10$ ($10 \ngtr 10$) не выполняется. Следовательно, третья сторона может быть только 10 см (что равно 1 дм).
Ответ: 8 дм или 1 м; 10 см (или 1 дм).