Номер 24.22, страница 117 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.22. Решите совокупность неравенств:

а) $\begin{cases} x > 2, \\ x \ge 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x \le -4, \\ x < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x > -7, \\ x < 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x \le 4, \\ x \ge 8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x \le -5, \\ x + 1 > 7; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x < -2, \\ x - 1 > 3. \end{cases}$

а) Дана совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{aligned} x &> 2, \\ x &\ge 5. \end{aligned} \right. $

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого неравенства. Множество решений первого неравенства $x > 2$ — это числовой промежуток $(2; +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x \ge 5$ — это числовой промежуток $[5; +\infty)$.

Объединение этих множеств — это все числа, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Так как любое число, которое больше или равно 5, также больше 2, то множество $[5; +\infty)$ является подмножеством множества $(2; +\infty)$.

Объединением множества и его подмножества является само это множество (большее из них). Таким образом, решением совокупности является промежуток $(2; +\infty)$.

Ответ: $x > 2$.

б) Дана совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{aligned} x &\le -4, \\ x &< 0. \end{aligned} \right. $

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого неравенства. Множество решений первого неравенства $x \le -4$ — это числовой промежуток $(-\infty; -4]$. Множество решений второго неравенства $x < 0$ — это числовой промежуток $(-\infty; 0)$.

Объединение этих множеств — это все числа, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Так как любое число, которое меньше или равно -4, также меньше 0, то множество $(-\infty; -4]$ является подмножеством множества $(-\infty; 0)$.

Объединением множества и его подмножества является само это множество (большее из них). Таким образом, решением совокупности является промежуток $(-\infty; 0)$.

Ответ: $x < 0$.

в) Дана совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{aligned} x &> -7, \\ x &< 1. \end{aligned} \right. $

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого неравенства. Множество решений первого неравенства $x > -7$ — это числовой промежуток $(-7; +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x < 1$ — это числовой промежуток $(-\infty; 1)$.

Объединение этих двух промежутков — это все числа, которые либо больше -7, либо меньше 1. Если мы представим эти множества на числовой прямой, то увидим, что их объединение покрывает всю прямую.

Следовательно, решением совокупности является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Дана совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{aligned} x &\le 4, \\ x &\ge 8. \end{aligned} \right. $

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого неравенства. Множество решений первого неравенства $x \le 4$ — это числовой промежуток $(-\infty; 4]$. Множество решений второго неравенства $x \ge 8$ — это числовой промежуток $[8; +\infty)$.

Эти два множества не пересекаются. Решением совокупности будет объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 4] \cup [8; +\infty)$.

д) Дана совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{aligned} x &\le -5, \\ x + 1 &> 7. \end{aligned} \right. $

Сначала упростим второе неравенство: $x + 1 > 7$ $x > 7 - 1$ $x > 6$

Теперь совокупность имеет вид: $ \left[ \begin{aligned} x &\le -5, \\ x &> 6. \end{aligned} \right. $

Решением является объединение множеств решений этих неравенств. Первое неравенство имеет решение $(-\infty; -5]$, второе — $(6; +\infty)$. Эти множества не пересекаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup (6; +\infty)$.

е) Дана совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{aligned} x &< -2, \\ x - 1 &> 3. \end{aligned} \right. $

Сначала упростим второе неравенство: $x - 1 > 3$ $x > 3 + 1$ $x > 4$

Теперь совокупность имеет вид: $ \left[ \begin{aligned} x &< -2, \\ x &> 4. \end{aligned} \right. $

Решением является объединение множеств решений этих неравенств. Первое неравенство имеет решение $(-\infty; -2)$, второе — $(4; +\infty)$. Эти множества не пересекаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.