Номер 1.138, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.138. Преобразуйте выражение:

а) $\sqrt{25a^6b^{10}}$, если $a > 0, b < 0$;

б) $\sqrt{9m^4n^2}$, если $n < 0$;

в) $-\sqrt{0,36a^8b^{14}}$, если $b \ge 0$;

г) $\sqrt{\frac{9a^{10}}{49b^{12}}}$, если $a < 0$.

а) Для преобразования выражения $\sqrt{25a^6b^{10}}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$. В более общем виде, для любого четного показателя степени $2k$, справедливо $\sqrt{y^{2k}} = |y^k|$.
$\sqrt{25a^6b^{10}} = \sqrt{25 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^5)^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{(b^5)^2} = 5 \cdot |a^3| \cdot |b^5|$.
Теперь используем заданные условия для раскрытия модулей:

• По условию $a > 0$. Так как основание степени положительное, то и $a^3 > 0$. Следовательно, $|a^3| = a^3$.
• По условию $b < 0$. Так как основание степени отрицательное, а показатель степени 5 — нечетный, то $b^5 < 0$. Следовательно, $|b^5| = -b^5$.

Подставим раскрытые модули в выражение:
$5 \cdot a^3 \cdot (-b^5) = -5a^3b^5$.
Ответ: $-5a^3b^5$.

б) Преобразуем выражение $\sqrt{9m^4n^2}$, используя свойство $\sqrt{y^{2k}} = |y^k|$.
$\sqrt{9m^4n^2} = \sqrt{9 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(m^2)^2} \cdot \sqrt{n^2} = 3 \cdot |m^2| \cdot |n|$.
Раскроем модули:

• Выражение $m^2$ всегда неотрицательно ($m^2 \ge 0$) для любого действительного $m$. Поэтому $|m^2| = m^2$.
• По условию $n < 0$. Поэтому $|n| = -n$.

Подставим раскрытые модули в выражение:
$3 \cdot m^2 \cdot (-n) = -3m^2n$.
Ответ: $-3m^2n$.

в) Преобразуем выражение $-\sqrt{0.36a^8b^{14}}$.
$-\sqrt{0.36a^8b^{14}} = -\sqrt{0.36 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^7)^2} = -(\sqrt{0.36} \cdot \sqrt{(a^4)^2} \cdot \sqrt{(b^7)^2}) = -(0.6 \cdot |a^4| \cdot |b^7|)$.
Раскроем модули с учетом условий:

• Выражение $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), так как показатель степени 4 — четный. Поэтому $|a^4| = a^4$.
• По условию $b \ge 0$. Так как основание степени неотрицательное, то и $b^7 \ge 0$. Следовательно, $|b^7| = b^7$.

Подставим раскрытые модули в выражение:
$-(0.6 \cdot a^4 \cdot b^7) = -0.6a^4b^7$.
Ответ: $-0.6a^4b^7$.

г) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{9a^{10}}{49b^{12}}}$. Для существования дроби $b \neq 0$.
$\sqrt{\frac{9a^{10}}{49b^{12}}} = \frac{\sqrt{9a^{10}}}{\sqrt{49b^{12}}} = \frac{\sqrt{9 \cdot (a^5)^2}}{\sqrt{49 \cdot (b^6)^2}} = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{(a^5)^2}}{\sqrt{49} \cdot \sqrt{(b^6)^2}} = \frac{3|a^5|}{7|b^6|}$.
Раскроем модули с учетом условий:

• По условию $a < 0$. Так как основание степени отрицательное, а показатель степени 5 — нечетный, то $a^5 < 0$. Следовательно, $|a^5| = -a^5$.
• Выражение $b^6$ всегда неотрицательно ($b^6 \ge 0$), так как показатель степени 6 — четный. Поэтому $|b^6| = b^6$.

Подставим раскрытые модули в выражение:
$\frac{3(-a^5)}{7b^6} = -\frac{3a^5}{7b^6}$.
Ответ: $-\frac{3a^5}{7b^6}$.