Номер 1.139, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.139. Упростите выражение:

а) $ \sqrt{(a-7)^2} $ при $ a \ge 7 $;

б) $ \sqrt{(a+8)^2} $ при $ a < -8 $;

в) $ \sqrt{(y-3)^2} + \sqrt{(y-5)^2} $ при $ 3 \le y \le 5 $;

г) $ \sqrt{(x+4)^2} - \sqrt{(x-1)^2} $ при $ x < -4 $.

Для упрощения данных выражений используется основное свойство квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — это модуль (абсолютная величина) выражения $x$. Модуль раскрывается по следующему правилу:

• $|x| = x$, если подмодульное выражение $x \geq 0$ (неотрицательно).
• $|x| = -x$, если подмодульное выражение $x < 0$ (отрицательно).

Согласно свойству, $\sqrt{(a-7)^2} = |a-7|$.
По условию $a \geq 7$, следовательно, выражение $a-7$ является неотрицательным ($a-7 \geq 0$).
Значит, модуль раскрывается со знаком "плюс": $|a-7| = a-7$.
Ответ: $a-7$.

$\sqrt{(a+8)^2} = |a+8|$.
По условию $a < -8$, следовательно, выражение $a+8$ является отрицательным ($a+8 < 0$).
Значит, модуль раскрывается со знаком "минус": $|a+8| = -(a+8) = -a-8$.
Ответ: $-a-8$.

Преобразуем выражение: $\sqrt{(y-3)^2} + \sqrt{(y-5)^2} = |y-3| + |y-5|$.
Рассмотрим каждый модуль, используя условие $3 \leq y \leq 5$:

• Для $|y-3|$: так как $y \geq 3$, то $y-3 \geq 0$. Следовательно, $|y-3| = y-3$.
• Для $|y-5|$: так как $y \leq 5$, то $y-5 \leq 0$. Следовательно, $|y-5| = -(y-5) = 5-y$.

Подставим полученные выражения: $(y-3) + (5-y) = y - 3 + 5 - y = 2$.
Ответ: 2.

Преобразуем выражение: $\sqrt{(x+4)^2} - \sqrt{(x-1)^2} = |x+4| - |x-1|$.
Рассмотрим каждый модуль, используя условие $x < -4$:

• Для $|x+4|$: так как $x < -4$, то $x+4 < 0$. Следовательно, $|x+4| = -(x+4) = -x-4$.
• Для $|x-1|$: так как $x < -4$, то $x-1$ также будет отрицательным ($x-1 < -4-1=-5 < 0$). Следовательно, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

Подставим полученные выражения: $(-x-4) - (1-x) = -x - 4 - 1 + x = -5$.
Ответ: -5.