Номер 1.158, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.158. Найдите значение выражения, используя рациональный способ решения:

a) $\sqrt{41^2 - 40^2}$;

б) $\sqrt{178^2 - 78^2}$;

в) $\sqrt{8,2^2 - 1,8^2}$;

г) $\sqrt{6,5^2 - 5,2^2}$.

Для решения всех выражений используется рациональный способ, основанный на формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) $\sqrt{41^2 - 40^2}$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 41$ и $b = 40$:

$\sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{(41 - 40)(41 + 40)} = \sqrt{1 \cdot 81} = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: 9

б) $\sqrt{178^2 - 78^2}$

Применим ту же формулу, где $a = 178$ и $b = 78$:

$\sqrt{178^2 - 78^2} = \sqrt{(178 - 78)(178 + 78)} = \sqrt{100 \cdot 256} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{256} = 10 \cdot 16 = 160$.

Ответ: 160

в) $\sqrt{8,2^2 - 1,8^2}$

Используем формулу разности квадратов для десятичных дробей, где $a = 8,2$ и $b = 1,8$:

$\sqrt{8,2^2 - 1,8^2} = \sqrt{(8,2 - 1,8)(8,2 + 1,8)} = \sqrt{6,4 \cdot 10} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8

г) $\sqrt{6,5^2 - 5,2^2}$

Снова применяем формулу разности квадратов, где $a = 6,5$ и $b = 5,2$:

$\sqrt{6,5^2 - 5,2^2} = \sqrt{(6,5 - 5,2)(6,5 + 5,2)} = \sqrt{1,3 \cdot 11,7}$.

Для удобства вычислений можно представить десятичные дроби в виде обыкновенных:

$\sqrt{1,3 \cdot 11,7} = \sqrt{\frac{13}{10} \cdot \frac{117}{10}} = \sqrt{\frac{13 \cdot (9 \cdot 13)}{100}} = \sqrt{\frac{13^2 \cdot 3^2}{10^2}} = \frac{\sqrt{13^2 \cdot 3^2}}{\sqrt{10^2}} = \frac{13 \cdot 3}{10} = \frac{39}{10}$.

В результате мы получили неправильную дробь $\frac{39}{10}$, которая равна десятичной дроби $3,9$.

Ответ: 3,9