Номер 1.393, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.393. Найдите значения числа $a$, при которых наименьшим целым решением совокупности неравенств $\begin{cases} x > a, \\ x \ge -7 \end{cases}$ является число $-7$.

Дана совокупность неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} x > a, \\ x \ge -7. \end{array} \right. $$ Решением совокупности является объединение решений каждого из неравенств. Решение первого неравенства — это интервал $(a, +\infty)$. Решение второго неравенства — это луч $[-7, +\infty)$. Таким образом, решением совокупности является объединение этих множеств: $x \in (a, +\infty) \cup [-7, +\infty)$.

По условию задачи, наименьшим целым решением этой совокупности должно быть число $-7$. Для нахождения всех подходящих значений $a$ необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a \ge -7$

В этом случае интервал $(a, +\infty)$ является подмножеством луча $[-7, +\infty)$, поэтому их объединение совпадает с лучом $[-7, +\infty)$. Решением совокупности является $x \ge -7$. Целые решения этого неравенства — это числа $-7, -6, -5, \dots$. Наименьшим из них является $-7$, что соответствует условию задачи. Таким образом, все значения $a \ge -7$ являются решением.

Случай 2: $a < -7$

В этом случае луч $[-7, +\infty)$ является подмножеством интервала $(a, +\infty)$, поэтому их объединение совпадает с интервалом $(a, +\infty)$. Решением совокупности является $x > a$. Чтобы наименьшим целым решением было число $-7$, необходимо, чтобы само число $-7$ входило в множество решений, а предыдущее целое число $-8$ — не входило. Это можно записать в виде системы условий: $$ \left\{ \begin{array}{l} -7 > a \\ -8 \le a \end{array} \right. $$ Отсюда получаем, что $a$ должно находиться в промежутке $-8 \le a < -7$.

Объединение результатов

Для получения окончательного ответа необходимо объединить решения, найденные в обоих случаях. Из первого случая мы получили $a \ge -7$. Из второго — $-8 \le a < -7$. Объединение этих двух множеств, $[-8, -7) \cup [-7, +\infty)$, дает итоговый промежуток $a \ge -8$.

Ответ: $a \ge -8$.