Номер 1356, страница 253 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U_{max} = 10 \text{ В}$

$I_{д} = 10 \text{ мА} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.01 \text{ А}$

$C = 3.0 \text{ мкФ} = 3.0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$L$

Решение:

В идеальном колебательном контуре, где активным сопротивлением можно пренебречь, выполняется закон сохранения энергии. Максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{E, max}$ равна максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_{M, max}$.

Максимальная энергия, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W_{E, max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Максимальная энергия, запасенная в катушке индуктивности, вычисляется по формуле:

$W_{M, max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

где $I_{max}$ — это амплитудное значение силы тока.

По закону сохранения энергии:

$W_{E, max} = W_{M, max}$

$\frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

В условии задачи дано действующее значение силы тока $I_{д}$. Связь между действующим и амплитудным значениями для синусоидального тока следующая:

$I_{д} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$

Отсюда выразим амплитудное значение тока:

$I_{max} = I_{д} \sqrt{2}$

Подставим это выражение в уравнение сохранения энергии:

$\frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{L (I_{д} \sqrt{2})^2}{2}$

$C U_{max}^2 = L (I_{д}^2 \cdot 2)$

Выразим искомую индуктивность $L$:

$L = \frac{C U_{max}^2}{2 I_{д}^2}$

Подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ:

$L = \frac{3.0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot (10 \text{ В})^2}{2 \cdot (0.01 \text{ А})^2} = \frac{3.0 \cdot 10^{-6} \cdot 100}{2 \cdot 0.0001} = \frac{3.0 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{-4}} = 1.5 \text{ Гн}$

Ответ: индуктивность катушки контура равна $1.5 \text{ Гн}$.