Номер 9, страница 41, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Муравьева, Урбан

9. На складе имеются грецкие орехи в мешках по 23 кг, 17 кг, 40 кг. Может ли кондитер купить 100 кг орехов, не вскрывая мешки?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проверить, можно ли получить 100 кг путем сложения весов мешков по 23 кг, 17 кг и 40 кг, используя целое количество мешков каждого вида. Другими словами, нужно найти, существуют ли целые неотрицательные числа $x$, $y$ и $z$, которые являются решением уравнения:

$23x + 17y + 40z = 100$

Здесь $x$, $y$ и $z$ — это количество мешков весом 23 кг, 17 кг и 40 кг соответственно.

Решение:

Для решения этой задачи можно применить метод перебора вариантов, но есть и более элегантный подход. Обратим внимание на то, что вес одного из видов мешков (40 кг) равен сумме весов двух других видов мешков:

$40 = 23 + 17$

Это позволяет нам упростить исходное уравнение. Подставим выражение $23 + 17$ вместо 40 в наше уравнение:

$23x + 17y + (23 + 17)z = 100$

Теперь раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$23x + 17y + 23z + 17z = 100$

$(23x + 23z) + (17y + 17z) = 100$

Вынесем общие множители 23 и 17 за скобки:

$23(x + z) + 17(y + z) = 100$

Введем новые переменные. Пусть $A = x + z$ и $B = y + z$. Так как $x, y, z$ по условию задачи могут быть только целыми неотрицательными числами (количество мешков), то переменные $A$ и $B$ также должны быть целыми и неотрицательными.

Наша задача свелась к поиску целых неотрицательных решений для более простого уравнения:

$23A + 17B = 100$

Теперь проверим возможные значения для переменной $A$. Учитывая, что $23 \times 5 = 115$, а это уже больше 100, переменная $A$ может принимать только значения от 0 до 4.

• Если $A = 0$: $17B = 100$. Отсюда $B = \frac{100}{17}$, что не является целым числом.
• Если $A = 1$: $23 \times 1 + 17B = 100 \implies 17B = 77$. Отсюда $B = \frac{77}{17}$, что не является целым числом.
• Если $A = 2$: $23 \times 2 + 17B = 100 \implies 46 + 17B = 100 \implies 17B = 54$. Отсюда $B = \frac{54}{17}$, что не является целым числом.
• Если $A = 3$: $23 \times 3 + 17B = 100 \implies 69 + 17B = 100 \implies 17B = 31$. Отсюда $B = \frac{31}{17}$, что не является целым числом.
• Если $A = 4$: $23 \times 4 + 17B = 100 \implies 92 + 17B = 100 \implies 17B = 8$. Отсюда $B = \frac{8}{17}$, что не является целым числом.

Мы рассмотрели все возможные целые неотрицательные значения для $A$ и ни в одном из случаев не получили целого значения для $B$. Это означает, что уравнение $23A + 17B = 100$ не имеет решений в целых неотрицательных числах.

Следовательно, и исходное уравнение $23x + 17y + 40z = 100$ также не имеет решений в целых неотрицательных числах.

Ответ: Нет, кондитер не может купить ровно 100 кг орехов, не вскрывая мешки.