Номер 1.344, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.344. Найдите наибольшее целое решение системы неравенств

$\begin{cases}\frac{x+2}{3} - \frac{x-8}{2} + 1 > x - \frac{2x-1}{6}, \\1-x > \frac{1+x}{4}.\end{cases}$

Чтобы найти решение системы, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $\frac{x+2}{3} - \frac{x-8}{2} + 1 > x - \frac{2x-1}{6}$

Для устранения дробей умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 2, и 6), которое равно 6.

$6 \cdot \frac{x+2}{3} - 6 \cdot \frac{x-8}{2} + 6 \cdot 1 > 6 \cdot x - 6 \cdot \frac{2x-1}{6}$

Выполним умножение:

$2(x+2) - 3(x-8) + 6 > 6x - (2x-1)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед дробью или скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри.

$2x + 4 - 3x + 24 + 6 > 6x - 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$-x + 34 > 4x + 1$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-x$ вправо, а 1 влево, чтобы коэффициент при $x$ был положительным.

$34 - 1 > 4x + x$

$33 > 5x$

Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется, так как 5 — положительное число.

$x < \frac{33}{5}$

Для удобства преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x < 6\frac{3}{5}$

Ответ: 6

2. Решим второе неравенство: $1-x > \frac{1+x}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя.

$4 \cdot (1-x) > 1+x$

Раскроем скобки:

$4 - 4x > 1 + x$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а свободные члены — в левой.

$4 - 1 > x + 4x$

$3 > 5x$

Разделим обе части на 5.

$x < \frac{3}{5}$

Ответ: 0

3. Найдем наибольшее целое решение системы.

Мы получили систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x < 6\frac{3}{5} \\ x < \frac{3}{5} \end{cases}$

Решением системы является пересечение множеств решений этих неравенств. Поскольку второе неравенство ($x < \frac{3}{5}$) является более строгим, чем первое ($x < 6\frac{3}{5}$), то решение системы совпадает с решением второго неравенства: $x < \frac{3}{5}$.

В виде десятичной дроби это неравенство выглядит так: $x < 0.6$.

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому условию. Целые числа, меньшие 0.6, это 0, -1, -2, ...

Наибольшим из этих целых чисел является 0.

Итоговый ответ: Наибольшее целое решение системы неравенств равно 0.