Номер 1.351, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.351. Решите совокупность неравенств:

а) $ \begin{cases} x > 5, \\ x \geq 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x \leq -3, \\ x < 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x > -9, \\ x < 2; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq 5. \end{cases} $

Решение совокупности неравенств означает нахождение объединения множеств решений каждого из неравенств, входящих в совокупность. Знак совокупности (квадратная скобка) соответствует логическому оператору "ИЛИ".

а) Дана совокупность неравенств:$$ \left[ \begin{gathered} x > 5, \\ x \geq 7; \end{gathered} \right. $$Решением первого неравенства $x > 5$ является интервал $(5, +\infty)$.
Решением второго неравенства $x \geq 7$ является интервал $[7, +\infty)$.
Решение совокупности — это объединение этих двух множеств: $(5, +\infty) \cup [7, +\infty)$.
Поскольку любой $x$, удовлетворяющий условию $x \geq 7$, также удовлетворяет условию $x > 5$, множество $[7, +\infty)$ является подмножеством множества $(5, +\infty)$. Объединение множества с его подмножеством равно самому множеству.
Следовательно, решением является интервал $(5, +\infty)$.

Ответ: $x > 5$

б) Дана совокупность неравенств:$$ \left[ \begin{gathered} x \leq -3, \\ x < 0; \end{gathered} \right. $$Решением первого неравенства $x \leq -3$ является интервал $(-\infty, -3]$.
Решением второго неравенства $x < 0$ является интервал $(-\infty, 0)$.
Решение совокупности — это объединение этих двух множеств: $(-\infty, -3] \cup (-\infty, 0)$.
Поскольку любой $x$, удовлетворяющий условию $x \leq -3$, также удовлетворяет условию $x < 0$, множество $(-\infty, -3]$ является подмножеством множества $(-\infty, 0)$. Объединение множества с его подмножеством равно самому множеству.
Следовательно, решением является интервал $(-\infty, 0)$.

Ответ: $x < 0$

в) Дана совокупность неравенств:$$ \left[ \begin{gathered} x > -9, \\ x < 2; \end{gathered} \right. $$Решением первого неравенства $x > -9$ является интервал $(-9, +\infty)$.
Решением второго неравенства $x < 2$ является интервал $(-\infty, 2)$.
Решение совокупности — это объединение этих двух множеств: $(-9, +\infty) \cup (-\infty, 2)$.
Объединение этих двух интервалов покрывает всю числовую прямую. Любое действительное число будет либо больше -9, либо меньше 2. Например, число $-10$ меньше 2. Число $10$ больше -9. Число $0$ удовлетворяет обоим условиям. Следовательно, решением является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$

г) Дана совокупность неравенств:$$ \left[ \begin{gathered} x \leq 3, \\ x \geq 5. \end{gathered} \right. $$Решением первого неравенства $x \leq 3$ является интервал $(-\infty, 3]$.
Решением второго неравенства $x \geq 5$ является интервал $[5, +\infty)$.
Решение совокупности — это объединение этих двух множеств: $(-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$.
Эти два интервала не пересекаются, поэтому их объединение нельзя записать в виде одного простого интервала. Решение состоит из всех чисел, которые меньше или равны 3, а также всех чисел, которые больше или равны 5.

Ответ: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$