Номер 1.345, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.345. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$ \begin{cases} 0.8(x - 3) - 0.3(2 - x) \le 3.2, \\ 1.6 - x < \frac{2x + 1}{5}. \end{cases} $

Для того чтобы найти сумму целых решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, найти пересечение их решений, а затем сложить все целые числа из этого пересечения.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$0,8x - 2,4 - 0,6 + 0,3x \le 3,2$

Приведем подобные слагаемые:

$1,1x - 3 \le 3,2$

Перенесем -3 в правую часть, изменив знак:

$1,1x \le 3,2 + 3$

$1,1x \le 6,2$

Разделим обе части на 1,1 (что эквивалентно умножению на 10 и делению на 11):

$x \le \frac{62}{11}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число и выделим целую часть. Ответ: $x \le \textbf{5}\frac{7}{11}$

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5(1,6 - x) < 2x + 1$

Раскроем скобки:

$8 - 5x < 2x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$8 - 1 < 2x + 5x$

$7 < 7x$

Разделим обе части на 7:

$1 < x$

Ответ: $x > 1$

Объединим решения обоих неравенств в систему:

$\begin{cases} x \le 5\frac{7}{11} \\ x > 1 \end{cases}$

Таким образом, решение системы неравенств представляет собой промежуток $(1; 5\frac{7}{11}]$.

Найдем все целые числа, которые находятся в этом промежутке. Это числа: 2, 3, 4, 5.

Теперь вычислим их сумму:

$2 + 3 + 4 + 5 = 14$

Ответ: 14