Номер 3.206, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.206. Решите систему квадратных неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 2x - 24 \le 0, \\ x^2 \ge 16; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 + x - 3 \le 0, \\ -x^2 < 2x. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 24 \le 0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x - 24 \le 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-4; 6]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 \ge 16$.

Перепишем его в виде $x^2 - 16 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - 16 = 0$ это $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 16$ также является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 - 16 \ge 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $[-4; 6]$ и $(-\infty; -4] \cup [4; \infty)$.

Общими точками для этих двух множеств являются точка $x = -4$ и отрезок $[4; 6]$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [4; 6]$.

б) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство: $2x^2 + x - 3 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$.

Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $2x^2 + x - 3 \le 0$ выполняется между корнями, включая их.

Решение первого неравенства: $x \in [-1\frac{1}{2}; 1]$.

2. Решим второе неравенство: $-x^2 < 2x$.

Перенесем все члены в левую часть: $-x^2 - 2x < 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный: $x^2 + 2x > 0$.

Разложим на множители: $x(x + 2) > 0$.

Корни уравнения $x(x+2) = 0$ это $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(x + 2) > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $[-1\frac{1}{2}; 1]$ и $(-\infty; -2) \cup (0; \infty)$.

Интервал $(-\infty; -2)$ не имеет общих точек с отрезком $[-1\frac{1}{2}; 1]$.

Пересечение отрезка $[-1\frac{1}{2}; 1]$ с интервалом $(0; \infty)$ дает полуинтервал $(0; 1]$.

Ответ: $x \in (0; 1]$.